Вариант 3, Задача 2: Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). По условию:

Периметр: \( 2(a + b) = 26 \) см

Площадь: \( a · b = 36 \) см²

Из первого уравнения выразим сумму сторон: \( a + b = \frac{26}{2} = 13 \) см.

Теперь у нас есть система уравнений:

\( a + b = 13 \)
\( a · b = 36 \)

Составим квадратное уравнение, где \( a \) и \( b \) — его корни. По теореме Виета, такое уравнение имеет вид:

\( x^2 - (a+b)x + ab = 0 \)

Подставим значения:

\( x^2 - 13x + 36 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 · 1 · 36 = 169 - 144 = 25 \)
2. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
3. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Значит, стороны прямоугольника равны 9 см и 4 см.

Ответ: 9 см и 4 см.