Вариант 3 1. Докажите, что перпендикуляр к одной из параллельных прямых есть также перпендикуляр и к другой. 2. Стороны угла А перпендикулярны сторонам угла В. Чему равен каждый угол, если \(\angle A = 5\angle B\)?

Решение:

1. 1. Доказательство:
   Пусть дана прямая a и прямая b, причём a || b. Проведём прямую c, перпендикулярную прямой a (c ⊥ a). Докажем, что c ⊥ b.
   Пусть c пересекает a в точке A и b в точке B. Опустим из точки B на прямую a перпендикуляр BH.
   Так как c ⊥ a, то угол между c и a равен 90°. Так как a || b, и прямая c является секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°.
   Рассмотрим случай, когда a и b — параллельные прямые, а c — секущая. Если c ⊥ a, то угол между c и a равен 90°. Следовательно, соответствующий угол между c и b также равен 90°. Значит, c ⊥ b.
2. 2. Решение:
   Дано: Угол А и угол В, стороны угла А перпендикулярны сторонам угла В. \(\angle A = 5\angle B\).
   Найти: \(\angle A\) и \(\angle B\).
   Решение:
   Если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то эти углы либо равны, либо их сумма равна 180°.
   Случай 1: \(\angle A = \angle B\).
   По условию \(\angle A = 5\angle B\). Подставим \(\angle A = \angle B\): \(\angle B = 5\angle B\). Отсюда \(4\angle B = 0\), что означает \(\angle B = 0\). Это невозможно для угла.
   Случай 2: \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\).
   По условию \(\angle A = 5\angle B\). Подставим это в уравнение:
   \(5\angle B + \angle B = 180^{\circ}\)
   \(6\angle B = 180^{\circ}\)
   \(\angle B = \frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ}\)
   Теперь найдём \(\angle A\):
   \(\angle A = 5\angle B = 5 \times 30^{\circ} = 150^{\circ}\)
   Проверка: \(150^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}\).

Ответ: \(\angle B = 30^{\circ}\), \(\angle A = 150^{\circ}\).