Вариант 3 1. Градусные меры двух смежных углов относятся как 5:13. Найдите эти углы. 2. Чему равен угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 80°? 3. При пересечении двух прямых один угол равен сумме двух углов, смежных с ним. Найдите все углы, образованные этими прямыми. 4. Чему равен угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный 53°?

Вариант 3

1. 
   

   Пусть градусные меры двух смежных углов равны \( 5x \) и \( 13x \).

   
   

   Так как углы смежные, их сумма равна \( 180^\circ \).

   
   

   \( 5x + 13x = 180^\circ \)
   \( 18x = 180^\circ \)
   \( x = 10^\circ \)

   
   

   Первый угол: \( 5x = 5 · 10^\circ = 50^\circ \).
   Второй угол: \( 13x = 13 · 10^\circ = 130^\circ \).

   
   


2. 
   

   Пусть искомый угол равен \( α \). Тогда два смежных с ним угла равны \( β \) и \( γ \). Сумма двух смежных с ним углов равна \( 80^\circ \), то есть \( β + γ = 80^\circ \).

   
   

   Сумма трех углов \( α + β + γ = 180^\circ \) (развернутый угол).

   
   

   Подставим значение суммы \( β + γ \):

   
   

   \( α + 80^\circ = 180^\circ \)
   \( α = 180^\circ - 80^\circ \)
   \( α = 100^\circ \)

   
   


3. 
   

   Пусть при пересечении двух прямых образовались углы \( α, β, γ, δ \). Два смежных угла, например, \( α \) и \( β \), составляют развернутый угол: \( α + β = 180^\circ \). Вертикальные углы равны: \( α = γ \) и \( β = δ \).

   
   

   Условие: один угол равен сумме двух смежных с ним. Пусть это будет угол \( α \). Смежные с ним углы — \( β \) и \( δ \). Однако, \( β \) и \( δ \) равны, поэтому угол \( α \) равен сумме двух смежных с ним углов, если эти углы равны \( β \) и \( β \), что невозможно, так как \( α + 2β = 180^\circ \) и \( α = 2β \) в этом случае \( 2β + 2β = 180^\circ \rightarrow 4β = 180^\circ \rightarrow β = 45^\circ \) и \( α = 90^\circ \).

   
   

   Если имелось в виду, что один из образовавшихся углов равен сумме двух других смежных с ним углов, которые не равны между собой (что неверно, так как смежные углы образуют пару), то условие следует понимать так: пусть один из углов равен \( α \). Тогда сумма двух других углов, которые образуют с ним прямой угол, равна \( 180^\circ \). Если \( α = β + δ \), то \( α = β + β \) (так как \( β = δ \)).

   
   

   \( α = 2β \) и \( α + β = 180^\circ \).

   
   

   Подставим \( α \) во второе уравнение:

   
   

   \( 2β + β = 180^\circ \)
   \( 3β = 180^\circ \)
   \( β = 60^\circ \)

   
   

   Тогда \( α = 2 · 60^\circ = 120^\circ \).

   
   

   Углы равны \( 120^\circ \) и \( 60^\circ \).

   
   

   Вертикальные углы равны: \( α = γ = 120^\circ \) и \( β = δ = 60^\circ \).

   
   


4. 
   

   Пусть искомый угол равен \( α \). Биссектриса делит этот угол пополам, то есть образует два угла по \( α/2 \).

   
   

   По условию, биссектриса образует со стороной угла угол, равный \( 53^\circ \). Это означает, что \( α/2 = 53^\circ \).

   
   

   \( α = 2 · 53^\circ \)
   \( α = 106^\circ \)

   
   

Ответ: 1. 50°, 130°; 2. 100°; 3. 120°, 60°; 4. 106°.