Вариант 3 1. На рисунке 66 точка О — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (М — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°. 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудаленную от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

Вариант 3

1. Задача 1:

   Краткое пояснение: Треугольник OAD является равнобедренным, так как OA и OD — радиусы окружности. Угол FOA является центральным углом, соответствующим дуге FA.

   Решение: В равнобедренном треугольнике OAD углы при основании равны, то есть ∠ODA = ∠OAD = 34°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠AOD = 180° - (∠OAD + ∠ODA) = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°. Так как ∠AOD и ∠FOA являются смежными углами (лежат на прямой FD, проходящей через центр O), их сумма равна 180°. Однако, из рисунка видно, что FD — это диаметр. Угол FOA является центральным углом, опирающимся на дугу FA. Угол OAD - это угол между радиусом OA и хордой AD. Нам нужно найти угол FOA. Поскольку OA = OD (радиусы), треугольник OAD равнобедренный. Тогда ∠ODA = ∠OAD = 34°. Угол ∠AOD = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°. Угол FOA является смежным с углом AOD, если F, O, D лежат на одной прямой. Однако, на рисунке F, O, D не лежат на одной прямой. Если FD — диаметр, то ∠FOD = 180°. Без дополнительной информации о положении точки F относительно A и D, невозможно однозначно найти ∠FOA. Предполагая, что F, O, D образуют развернутый угол (диаметр), тогда ∠FOA = 180° - ∠AOD = 180° - 112° = 68°. Если же FD не диаметр, то информация недостаточна. Исходя из рисунка, FD является диаметром. Ответ: ∠FOA = 68°.

2. Задача 2:

   Краткое пояснение: MN — касательная к окружности, значит, радиус ON перпендикулярен касательной в точке касания M. Треугольник OMN является прямоугольным.

   Решение: Поскольку MN — касательная, ∠ONM = 90°. В прямоугольном треугольнике OMN, мы знаем ON (радиус) и ∠NOM. Однако, в условии задачи сказано, что MN — касательная (точка касания M) и дан ∠NOM = 30°, а также ON = 12 см. Здесь есть противоречие: ON является радиусом, который проходит через точку касания M. Обычно радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Но тогда ∠ONM = 90°. В треугольнике OMN, сумма углов равна 180°. Если ∠ONM = 90° и ∠NOM = 30°, то ∠OMN = 180° - 90° - 30° = 60°. Но M — точка касания, значит ON должно быть перпендикулярно MN. На рисунке 66, M — точка касания, и ON — радиус. Если ON = 12 см, то радиус равен 12 см. В прямоугольном треугольнике OMN, мы можем использовать тригонометрию. Однако, ∠NOM = 30° дано, а M — точка касания. По определению касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит ∠OMN = 90°. Тогда в треугольнике OMN: ∠MON + ∠ONM + ∠OMN = 180°. У нас есть ∠NOM = 30°. Если M - точка касания, то ON - это радиус. Если ON = 12 см, и M - точка касания, то ON является гипотенузой, если O - центр, N - точка на касательной, M - точка касания. Но на рисунке 66, M и N - точки на касательной, а O - центр. Если MN - касательная, то точка касания обозначена как M. Тогда OM перпендикулярно MN. Если ON = 12 см, то это расстояние от центра до точки N на касательной. Угол ∠NOM = 30°. В треугольнике OMN, OM = радиус. Если M — точка касания, то OM ⊥ MN, значит ∠OMN = 90°. В этом случае, ON — гипотенуза. По теореме Пифагора: ON² = OM² + MN². По тригонометрии: MN = OM * tan(∠MON) = OM * tan(30°). ON = OM / cos(30°). Если ON = 12 см, то OM = 12 * cos(30°) = 12 * (√3/2) = 6√3 см. Тогда MN = 6√3 * tan(30°) = 6√3 * (1/√3) = 6 см. Однако, если ON = 12 см является радиусом, то OM = 12 см. Тогда MN = 12 * tan(30°) = 12 * (1/√3) = 12√3/3 = 4√3 см. В условии сказано «отрезок MN». Вероятно, M — точка касания, а N — другая точка. Если ON = 12 см, и это расстояние от центра до точки N, и ∠NOM = 30°, и MN — касательная, то M — точка касания. Значит OM ⊥ MN, ∠OMN = 90°. Тогда ON — гипотенуза. OM = радиус. MN = ? Если ON = 12 см, то это расстояние от центра до точки N. Если ∠NOM = 30°, то в треугольнике OMN (прямоугольном), MN = ON * sin(∠NOM) = 12 * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см. OM = ON * cos(∠NOM) = 12 * cos(30°) = 12 * (√3/2) = 6√3 см. Значит радиус равен 6√3 см. Отрезок MN = 6 см. Ответ: MN = 6 см.

3. Задача 3:

   Краткое пояснение: Треугольники OAK и OBK имеют общую сторону OK. Если ∠OAK = ∠OBK, то эти углы являются углами при основании в треугольниках OAK и OBK. Однако, OA и OB — радиусы, поэтому треугольники OAK и OBK не обязательно равнобедренные.

   Доказательство: Дано: ∠OAK = ∠OBK. Доказать: AK = BK. Рассмотрим треугольники OAK и OBK. У них: OA = OB (радиусы окружности). OK — общая сторона. ∠OAK = ∠OBK (по условию). По стороне и двум прилежащим углам, треугольники OAK и OBK не равны, так как углы ∠OAK и ∠OBK не являются углами при основании OK. Однако, если мы рассмотрим треугольники AKO и BKO, то OA = OB (радиусы), OK - общая сторона. Углы ∠OAK и ∠OBK равны. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, эти треугольники не равны, так как угол не между сторонами OA и OK, OB и OK. Рассмотрим другой подход. В окружности равные центральные углы опираются на равные хорды. Если мы докажем, что ∠AOK = ∠BOK, то AK = BK. В треугольнике OAK: OA = OK (если K лежит на окружности и OK — радиус, но OK — это просто отрезок). Если DK — диаметр, то OK = DK/2. OA — радиус. OK — отрезок. Диаметр DK. Хорды KA и KB. ∠OAK = ∠OBK. OA = OB (радиусы). OK — общая сторона. Если OA = OB, то треугольник AOB равнобедренный. Углы ∠OAB = ∠OBA. Если ∠OAK = ∠OBK, и ∠OAB = ∠OBA, то ∠OAK = ∠OAB и ∠OBK = ∠OBA. Это значит, что точки K, A, O лежат на одной прямой, и K, B, O лежат на одной прямой, что невозможно, так как K, A, B - точки на окружности. Вернемся к условию: ∠OAK = ∠OBK. OA = OB (радиусы). OK — общая сторона. По третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. Здесь у нас две стороны (OA=OB, OK=OK) и один угол (∠OAK = ∠OBK), который не является углом между этими сторонами. Рассмотрим свойство касательных и хорд. Это задача про хорды. В треугольнике OAK, OA=радиус. В треугольнике OBK, OB=радиус. OK - общая сторона. Если ∠OAK = ∠OBK, то это значит, что точки A и B находятся на одинаковом