ВАРИАНТ 3 1. Точки А, В, С и D последовательно лежат на окружности, ∠BAC=54°, ∠CBD=38°. Найдите ∠BDC. 2. MT — диаметр окружности, В — точка на окружности. Найдите ∠BTM, если ∠BMT=32°. 3. Точки А, В и С лежат на окружности с центром O, ∠BOC=140°. Найдите ∠BAC, если точка А лежит на меньшей дуге ВС.

Решение:

1. Нахождение ∠BDC:

1. Угол ∠BAC — вписанный и опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC равна \( 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 54° = 108° \).
2. Угол ∠BDC — вписанный и опирается на ту же дугу BC. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BAC = 54° \) (углы, опирающиеся на одну дугу, равны).

2. Нахождение ∠BTM:

1. Угол ∠BMT — вписанный и опирается на дугу BT. Следовательно, дуга BT равна \( 2 \cdot \angle BMT = 2 \cdot 32° = 64° \).
2. Угол ∠BTM — вписанный и опирается на дугу BM. Так как MT — диаметр, то дуга M T = 180°.
3. Дуга BM = Дуга MT - Дуга BT = 180° - 64° = 116°.
4. Следовательно, \( \angle BTM \) опирается на дугу BM, и \( \angle BTM = \frac{1}{2} \text{дуга BM} = \frac{1}{2} \cdot 116° = 58° \).

3. Нахождение ∠BAC:

1. Угол ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, дуга BC равна \( 140° \).
2. Угол ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
3. Так как точка А лежит на меньшей дуге BC, то угол ∠BAC опирается на большую дугу BC. Большая дуга BC = 360° - 140° = 220°.
4. \( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 220° = 110° \).

Ответ: 1. ∠BDC = 54°; 2. ∠BTM = 58°; 3. ∠BAC = 110°.