Вариант 3 Основанием прямой призмы - ромб с меньшей диагональю 5см и углом 120°. Меньшая диагональ призмы образует угол в 45 с плоскостью основания. Найдите: 1. Диагонали основания 2. Площадь основания 3. Высоту призмы 4. площадь боковой поверхности призмы 5. площадь полной поверхности призмы 6. площадь диагонального сечения, содержащую меньшую диагональ призмы.

Решение:

Дано:

• Прямая призма с основанием - ромб.
• Меньшая диагональ ромба d1 = 5 см.
• Угол ромба = 120°.
• Угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания = 45°.

1. Диагонали основания:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим диагонали ромба как d1 и d2. Больший угол ромба = 180° - 120° = 60°.

• У нас есть меньшая диагональ d1 = 5 см.
• Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Углы этого треугольника будут 120°/2 = 60° и 60°/2 = 30°.
• Поскольку один из углов равен 60°, а другой 30°, то половина большей диагонали (d2/2) будет противолежать углу 60°, а половина меньшей диагонали (d1/2 = 2.5 см) будет противолежать углу 30°.
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Здесь гипотенуза - сторона ромба.
• Используем тангенс для нахождения половины большей диагонали: \( \tan(60°) = \frac{d2/2}{d1/2} \)
• \( \sqrt{3} = \frac{d2/2}{2.5} \)
• \( d2/2 = 2.5 \cdot \sqrt{3} \) см.
• \( d2 = 5 \sqrt{3} \) см.

Ответ: Диагонали основания равны 5 см и 5\(\sqrt{3}\) см.

2. Площадь основания:

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей:

• \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2 \)
• \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5\sqrt{3} \)
• \( S_{осн} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \) см².

Ответ: Площадь основания равна \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\) см².

3. Высоту призмы:

Меньшая диагональ призмы образует угол 45° с плоскостью основания. Это означает, что угол между меньшей диагональю призмы и ее проекцией на основание (меньшей диагональю основания) равен 45°.

• Обозначим высоту призмы как h.
• В прямоугольном треугольнике, образованном меньшей диагональю призмы, меньшей диагональю основания (d1) и высотой призмы (h), тангенс угла 45° равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (меньшей диагонали основания).
• \( \tan(45°) = \frac{h}{d1} \)
• \( 1 = \frac{h}{5} \)
• \( h = 5 \) см.

Ответ: Высота призмы равна 5 см.

4. Площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

• Найдем сторону ромба (a). В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, сторона ромба является гипотенузой:
• \( a^2 = (d1/2)^2 + (d2/2)^2 \)
• \( a^2 = (2.5)^2 + (2.5\sqrt{3})^2 \)
• \( a^2 = 6.25 + 6.25 \cdot 3 \)
• \( a^2 = 6.25 + 18.75 \)
• \( a^2 = 25 \)
• \( a = 5 \) см.
• Периметр основания (P) = 4 * a = 4 * 5 = 20 см.
• Площадь боковой поверхности (S_бок) = P * h = 20 * 5 = 100 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 100 см².

5. Площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• \( S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \)
• \( S_{полн} = 100 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} \)
• \( S_{полн} = 100 + 25\sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \(100 + 25\sqrt{3}\) см².

6. Площадь диагонального сечения, содержащего меньшую диагональ призмы:

Диагональное сечение, содержащее меньшую диагональ основания, является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника - меньшая диагональ основания (d1) и высота призмы (h).

• Площадь диагонального сечения (S_сеч) = d1 * h
• \( S_{сеч} = 5 \cdot 5 \)
• \( S_{сеч} = 25 \) см².

Ответ: Площадь диагонального сечения равна 25 см².