Вариант 4. 1. На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Докажите, что ВЕ равно СЕ. 2. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. 3. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный 4. Высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°. 5. Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Докажите, что ОК равно ОМ. 6. С помощью циркуля и линейки, покажите как построить перпендикуляр к данной прямой из данной точки, не лежащей на данной прямой.

Решение по Варианту 4:

1. Доказательство равенства ВЕ и СЕ:
   • Дано: BE = CE, AE — биссектриса ∠BAC.
   • Так как AE — биссектриса ∠BAC, то ∠BAE = ∠CAE.
   • По условию, ∠AEB = ∠AEC.
   • Рассмотрим треугольники AEB и AEC.
   • У них равны две стороны: AB и AC (неизвестно, но мы можем использовать другой признак).
   • У них равны два угла: ∠BAE = ∠CAE (по условию) и ∠AEB = ∠AEC (по условию).
   • Третий угол в треугольнике: ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB, ∠ACE = 180° - ∠CAE - ∠AEC.
   • Так как ∠BAE = ∠CAE и ∠AEB = ∠AEC, то и ∠ABE = ∠ACE.
   • Таким образом, треугольники AEB и AEC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): сторона AE — общая, ∠BAE = ∠CAE, ∠AEB = ∠AEC.
   • Следовательно, соответствующие стороны BE и CE равны.
   • Вывод: BE = CE.
2. Доказательство:
   • Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
   • Пусть D, E, F — середины сторон AB, BC, AC соответственно.
   • Соединим точки D, E, F.
   • Рассмотрим треугольник ABC и среднюю линию DE. DE соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, DE || AC и DE = 1/2 AC.
   • Рассмотрим среднюю линию EF. EF соединяет середины сторон BC и AC, следовательно, EF || AB и EF = 1/2 AB.
   • Рассмотрим среднюю линию DF. DF соединяет середины сторон AB и AC, следовательно, DF || BC и DF = 1/2 BC.
   • Так как AB = AC, то 1/2 AB = 1/2 AC, следовательно, EF = DE.
   • Рассмотрим треугольник DEF. Мы показали, что две его стороны DE и EF равны.
   • Следовательно, треугольник DEF является равнобедренным.
   • Вывод: Средняя линия соединяет середины сторон равнобедренного треугольника и образует другой равнобедренный треугольник.
3. Доказательство:
   • Пусть в треугольнике ABC биссектриса AD совпадает с высотой AD.
   • Это означает, что AD является и биссектрисой угла A (∠BAD = ∠CAD) и высотой (AD ⊥ BC, значит ∠ADB = ∠ADC = 90°).
   • Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
   • • ∠BAD = ∠CAD (по условию, AD — биссектриса).
     • ∠ADB = ∠ADC = 90° (по условию, AD — высота).
     • Сторона AD — общая.
   • Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
   • Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны AB и AC равны.
   • Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным (с основанием BC).
   • Вывод: Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
4. Нахождение угла AMB:
   • Дано: В треугольнике ABC высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. ∠A = 55°, ∠B = 67°.
   • В треугольнике ABA₁, ∠A₁AB = ∠A = 55°. ∠AA₁B = 90° (так как AA₁ — высота).
   • Сумма углов в треугольнике ABA₁: ∠A + ∠B + ∠AA₁B = 180°.
   • 55° + ∠B + 90° = 180° (это неверно, так как M - точка пересечения высот, а не угол B).
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁B: ∠AAB = 55°, ∠AA₁B = 90°.
   • Угол ∠ABA₁ = 180° - 90° - 55° = 35°.
   • В треугольнике BB₁A: ∠BBA = 67°, ∠BB₁A = 90°.
   • Угол ∠BAB₁ = 180° - 90° - 67° = 23°.
   • Рассмотрим треугольник AMB.
   • Угол ∠MAB = ∠BAB₁ = 23° (так как BB₁ — высота).
   • Угол ∠MBA = ∠ABA₁ = 35° (так как AA₁ — высота).
   • Сумма углов в треугольнике AMB: ∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°.
   • ∠AMB + 23° + 35° = 180°.
   • ∠AMB + 58° = 180°.
   • ∠AMB = 180° - 58° = 122°.
   • Ответ: 122°.
5. Доказательство равенства OK и OM:
   • Дано: AB и CE пересекаются в точке O, AO = OB, CO = OE. AK = BM.
   • Рассмотрим треугольники AOC и BOE.
   • AO = OB (по условию).
   • CO = OE (по условию).
   • ∠AOC = ∠BOE (как вертикальные углы).
   • Следовательно, треугольники AOC и BOE равны по первому признаку равенства треугольников.
   • Из равенства треугольников следует, что AC = BE.
   • Рассмотрим треугольники AOK и BOM.
   • AO = BO (по условию).
   • AK = BM (по условию).
   • ∠OAK = ∠OBM (поскольку треугольники AOC и BOE равны, то ∠CAO = ∠EBO, что соответствует ∠OAK и ∠OBM).
   • Следовательно, треугольники AOK и BOM равны по первому признаку равенства треугольников.
   • Из равенства треугольников следует, что OK = OM.
   • Вывод: OK = OM.
6. Построение перпендикуляра к прямой из точки, не лежащей на ней:
   • Инструкция:
   • 1. Пусть дана прямая l и точка A, не лежащая на ней.
   • 2. Циркулем проведите окружность с центром в точке A так, чтобы она пересекала прямую l в двух точках, назовем их B и C.
   • 3. Из точек B и C проведите две дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим, чем расстояние от B или C до точки A, и большим, чем половина отрезка BC), которые пересекутся в двух точках, назовем их D и E.
   • 4. Проведите прямую через точки D и E.
   • 5. Прямая DE является перпендикуляром к прямой l, проходящим через точку A.
   • Обоснование: Точки B и C равноудалены от точки A (по построению окружности). Точки B и C равноудалены от точек D и E (по построению дуг). Следовательно, точки D и E лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Точка A также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC (поскольку AB = AC). Таким образом, прямая DE, проходящая через A, D, E, является серединным перпендикуляром к BC, а значит, она перпендикулярна к прямой l.