Вариант 4. 1. Найдите длину отрезка EF и координаты его середины, если E (−5; 2) и F (7; −6). 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке C (5; −3) и которая проходит через точку N (2; −4). 3. Найдите координаты вершины K параллелограмма EFPK, если E (3; −1), F (−3; 3), P (2; −2). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (−3; 9) и K (5; −7). 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек A (−5; 2) и B (−3; 6). 6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = 4x + 9 и проходит через центр окружности x² + y² + 12x + 8y + 50 = 0.

1. Разности координат: \(\Delta x=7-(-5)=12\), \(\Delta y=-6-2=-8\).

Длина отрезка: \(EF=\sqrt{12^2+(-8)^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\).

Середина отрезка: \(S\left(\frac{-5+7}{2};\frac{2+(-6)}{2}\right)=S(1;-2)\).

2. Радиус окружности: \(r^2=(2-5)^2+(-4+3)^2=9+1=10\).

Уравнение окружности с центром \(C(5;-3)\): \((x-5)^2+(y+3)^2=10\).

3. В параллелограмме \(EFPK\) выполняется \(K=E+P-F\).

\(K=(3;-1)+(2;-2)-(-3;3)=(8;-6)\).

4. Угловой коэффициент прямой: \(k=\frac{-7-9}{5-(-3)}=\frac{-16}{8}=-2\).

Уравнение через точку \(D(-3;9)\): \(y-9=-2(x+3)\).

После преобразования: \(y=-2x+3\).

5. Точка на оси ординат имеет вид \(P(0;y)\). По условию равенства расстояний:

\(5^2+(y-2)^2=3^2+(y-6)^2\).

\(25+y^2-4y+4=9+y^2-12y+36\).

Отсюда \(8y=16\), поэтому \(y=2\).

Искомая точка: \(P(0;2)\).

6. Приведём уравнение окружности к каноническому виду:

\(x^2+12x+y^2+8y+50=0\),

\((x+6)^2+(y+4)^2=2\).

Центр окружности: \(O(-6;-4)\). Параллельная прямая имеет угловой коэффициент \(4\).

Через центр: \(y+4=4(x+6)\).

Ответ: \(y=4x+20\).

Итог: 1) \(EF=4\sqrt{13}\), середина \((1;-2)\); 2) \((x-5)^2+(y+3)^2=10\); 3) \(K(8;-6)\); 4) \(y=-2x+3\); 5) \((0;2)\); 6) \(y=4x+20\).