Вариант 4. 1. Найдите значение выражения: а) 4⁻⁹ · 4¹⁰; б) 8⁻¹² : 8⁻¹⁰; в) (3²)⁻¹. 2. Упростите выражение: а) 1,6x⁻⁶y¹⁰ · 15x³y⁻⁴; б) (3a³/(2b⁻⁵))⁻² · 63a¹⁵b³. 3. Представьте в стандартном виде число: а) 530 000; б) 0,000072; в) 349 · 10⁻⁴; г) 0,086 · 10⁷. 4. Вычислите: (100⁻⁹ · 10¹¹)/(0,1⁵). 5. Найдите массу медного бруска длиной 15 см, шириной 4 см и высотой 8 мм, если известно, что m = ρV, а плотность меди ρ = 9,8 г/см³. Результат выразите в килограммах и запишите в стандартном виде.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, при делении — вычитаем, а степень степени вычисляем умножением показателей.

а) \(4^{-9}\cdot4^{10}=4^1=4\).

б) \(8^{-12}:8^{-10}=8^{-2}=\frac{1}{64}\).

в) \((3^2)^{-1}=3^{-2}=\frac{1}{9}\).

а) Перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней одинаковых переменных: \(1.6\cdot15\,x^{-6+3}y^{10-4}=24x^{-3}y^6=\frac{24y^6}{x^3}\).

б) Сначала упрощаем выражение в скобках: \(\frac{3a^3}{2b^{-5}}=\frac{3}{2}a^3b^5\). Возводим в степень \(-2\) и умножаем: \(\left(\frac{3}{2}a^3b^5\right)^{-2}\cdot63a^{15}b^3=\frac{4}{9}a^{-6}b^{-10}\cdot63a^{15}b^3=28a^9b^{-7}=\frac{28a^9}{b^7}\).

Стандартный вид числа — \(c\cdot10^n\), где \(1\le c<10\).

а) \(530\,000=5.3\cdot10^5\).

б) \(0.000072=7.2\cdot10^{-5}\).

в) \(349\cdot10^{-4}=3.49\cdot10^2\cdot10^{-4}=3.49\cdot10^{-2}\).

г) \(0.086\cdot10^7=8.6\cdot10^{-2}\cdot10^7=8.6\cdot10^5\).

Представим все множители как степени основания 10: \(100^{-9}=10^{-18}\), \(0.1^5=10^{-5}\).

\(\frac{100^{-9}\cdot10^{11}}{0.1^5}=\frac{10^{-18}\cdot10^{11}}{10^{-5}}=10^{-7-(-5)}=10^{-2}=0.01\).

Переведём высоту в сантиметры: \(8\text{ мм}=0.8\text{ см}\).

Объём бруска: \(V=15\cdot4\cdot0.8=48\text{ см}^3\).

Масса: \(m=\rho V=9.8\cdot48=470.4\text{ г}=0.4704\text{ кг}=4.704\cdot10^{-1}\text{ кг}\).

Ответ: \(4.704\cdot10^{-1}\) кг.