Вариант 4. 1. Постройте график функции $y=x^2-2x-8$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=-1{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=3$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^2+4x+3$. 3. Найдите область значений функции $y=x^2-2x-8$, где $x\in[0;3]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 4. 1. Постройте график функции $y=x^2-2x-8$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=-1{,}5$; б)…$ Фото задания

Вариант 4. 1. Постройте график функции $y=x^2-2x-8$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=-1{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=3$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^2+4x+3$. 3. Найдите область значений функции $y=x^2-2x-8$, где $x\in[0;3]$.

Accepted Answer

1. Представим функцию в виде $y=(x-1)^2-9$. Это парабола с ветвями вверх, вершиной $(1;-9)$ и осью симметрии $x=1$.

При $x=-1.5$: $y=(-1.5)^2-2(-1.5)-8=2.25+3-8=-2.75$.
При $y=3$: $x^2-2x-8=3$, значит $x^2-2x-11=0$, откуда $x=1\pm2\sqrt3$ (приблизительно $-2.46$ и $4.46$).
Нули: $x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0$, то есть $-2$ и $4$. Поэтому $y>0$ при $x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$, а $y<0$ при $x\in(-2;4)$.
Парабола направлена вверх, поэтому функция возрастает при $x\in[1;+\infty)$ (строго возрастает на $(1;+\infty)$).

2. $y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7$. Поскольку $-(x-2)^2\le0$, наибольшее значение равно $7$ при $x=2$.

3. $y=(x-1)^2-9$. На отрезке $[0;3]$ вершина $x=1$ даёт минимум $-9$. На концах: $y(0)=-8$, $y(3)=-5$, поэтому максимум равен $-5$. Область значений: $[-9;-5]$.

Ответ: 1) а) −2,75; б) $x=1\pm2\sqrt3$; в) нули −2 и 4, $y>0$ при $x<−2$ или $x>4$, $y<0$ при $−2<x<4$; г) функция возрастает при $x\ge1$. 2) 7. 3) $[-9;−5]$.