Вариант 4. 1. Постройте график функции y = x² − 2x − 8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −1,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наибольшее значение функции y = −x² + 4x + 3. 3. Найдите область значений функции y = x² − 2x − 3, где x ∈ [0; 3]. 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ½x² и прямая y = 12 − x. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения 2·⁵√(−7 19/32) + ⁴√(39 1/16).

Question

Вопрос:

Фото задания: Вариант 4. 1. Постройте график функции y = x² − 2x − 8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −1,5; б) значения x,…

Вариант 4. 1. Постройте график функции y = x² − 2x − 8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −1,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает. 2. Найдите наибольшее значение функции y = −x² + 4x + 3. 3. Найдите область значений функции y = x² − 2x − 3, где x ∈ [0; 3]. 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ½x² и прямая y = 12 − x. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения 2·⁵√(−7 19/32) + ⁴√(39 1/16).

Accepted Answer

1. Преобразуем функцию: \(y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\). Вершина — \((1;-9)\), ось симметрии — \(x=1\), ветви направлены вверх. Для построения графика используем точки \((-2;0),(-1;-5),(0;-8),(1;-9),(2;-8),(3;-5),(4;0)\).

При \(x=-1.5\): \(y=(-1.5)^2-2(-1.5)-8=2.25+3-8=-2.75\).
При \(y=3\): \(x^2-2x-11=0\), откуда \(x=1\pm2\sqrt3\).
Нули: \((x-4)(x+2)=0\), то есть \(x=-2\) и \(x=4\). Поэтому \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(-2;4)\).
Вершина имеет абсциссу 1; функция возрастает при \(x\in[1;+\infty)\).

Ответ: а) −2,75; б) \(x=1\pm2\sqrt3\); в) нули −2 и 4, \(y>0\) на \((−∞;−2)\cup(4;+∞)\), \(y<0\) на \((−2;4)\); г) функция возрастает на \([1;+∞)\).

2. Выделим квадрат: \(y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7\). Поскольку \(-(x-2)^2\le0\), наибольшее значение функции равно 7 при \(x=2\).

Ответ: 7.

3. Для \(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\) вершина при \(x=1\) лежит на отрезке \([0;3]\), и значение в ней равно −4. На концах: \(y(0)=-3\), \(y(3)=0\). Значит, область значений — \([-4;0]\).

Ответ: \([-4;0]\).

4. Приравняем функции: \(\frac12x^2=12-x\), откуда \(x^2+2x-24=0\). Разложение: \((x+6)(x-4)=0\), значит, \(x=-6\) или \(x=4\). По уравнению прямой получаем \(y=18\) и \(y=8\) соответственно.

Ответ: пересекаются в точках (−6; 18) и (4; 8).

5. \(-7\frac{19}{32}=-\frac{243}{32}=-(\frac32)^5\), поэтому \(2\sqrt[5]{-7\frac{19}{32}}=2\cdot(-\frac32)=-3\). Также \(39\frac1{16}=\frac{625}{16}=(\frac52)^4\), поэтому четвёртый корень равен \(\frac52\). Сумма: \(-3+\frac52=-\frac12\).

Ответ: \(-\frac12\).