Вариант 4. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}$; б) $45a^3b:\frac{c^2}{30a^4b}$; в) $\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}$; г) $\frac{3x+y}{y}\cdot\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)$. 2. Постройте график функции $y=-\frac4x$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac3{25-a^2}+\frac1{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$. 4. При каких значениях $y$ имеет смысл выражение $\frac{5y}{2-\frac7{6+2y}}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 4. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}$; б) $45a^3b:\frac{c^2}{30a^4b}$;…$ Фото задания

Вариант 4. 1. Представьте в виде дроби: а) $\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}$; б) $45a^3b:\frac{c^2}{30a^4b}$; в) $\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}$; г) $\frac{3x+y}{y}\cdot\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)$. 2. Постройте график функции $y=-\frac4x$. Какова область определения функции? При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac3{25-a^2}+\frac1{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$. 4. При каких значениях $y$ имеет смысл выражение $\frac{5y}{2-\frac7{6+2y}}$?

Accepted Answer

1. Представление в виде дроби

а) Сократим общие множители: $\frac{14p^4}{q^6}\cdot\frac{q^5}{56p^4}=\frac{1}{4q}$. Ограничения: $p\ne0, q\ne0$.
б) Деление заменим умножением на обратную дробь: $45a^3b:\frac{c^2}{30a^4b}=45a^3b\cdot\frac{30a^4b}{c^2}=\frac{1350a^7b^2}{c^2}$. В исходной записи необходимо $a\ne0, b\ne0, c\ne0$.
в) Разложим на множители и заменим деление умножением: $\frac{3(a-3)}{a+2}\cdot\frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)}=\frac{3(a-2)}{a+3}$. Ограничения: $a\ne-2,2,3,-3$.
г) Сначала упростим скобки: $\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}=\frac{y(3x+y)-3xy}{x(3x+y)}=\frac{y^2}{x(3x+y)}$. Тогда $\frac{3x+y}{y}\cdot\frac{y^2}{x(3x+y)}=\frac{y}{x}$. Ограничения исходного выражения: $y\ne0, x\ne0, 3x+y\ne0$.

2. График $y=-\frac4x$

Это гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Для построения отметим точки $(1;-4), (2;-2), (4;-1), (-1;4), (-2;2), (-4;1)$ и проведём через них плавные ветви, приближающиеся к осям координат.

Знаменатель не равен нулю, поэтому область определения: $x\ne0$. При $x>0$ значение $-4/x$ отрицательно; при $x<0$ оно положительно.

Ответ: область определения — все $x\ne0$; отрицательные значения функция принимает при $x>0$.

3. Доказательство

Разложим знаменатели: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(a-5)^2$. Тогда при $a\ne\pm5$:

\[\left(\frac3{(5-a)(5+a)}+\frac1{(a-5)^2}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}=\left(-\frac3{a+5}+\frac1{a+5}\right)\frac{5-a}{2}+\frac{3a}{a+5}.\]

Так как $5-a=-(a-5)$, удобнее объединить первое выражение непосредственно: $\frac{(5-a)^2}{2}\left(-\frac3{(a-5)(a+5)}+\frac1{(a-5)^2}\right)=\frac{a-5}{2(a+5)}$. Поэтому всё выражение равно $\frac{a-5}{2(a+5)}+\frac{3a}{a+5}=\frac{7a-5}{2(a+5)}$, что не является постоянным.

В условии, вероятно, ошибка: при указанном выражении зависимость от $a$ сохраняется. Например, при $a=0$ значение равно $-\frac52$, а при $a=1$ — $\frac13$. Оба значения допустимы.

Ответ: утверждение в пункте 3 неверно в записанном виде; выражение упрощается до $\frac{7a-5}{2(a+5)}$. Проверьте, пожалуйста, исходную запись.

4. Область допустимых значений

Внутренний знаменатель должен быть ненулевым: $6+2y\ne0$, значит, $y\ne-3$. Знаменатель всей дроби также не должен равняться нулю:

\[2-\frac7{6+2y}=0\quad\Longrightarrow\quad 6+2y=\frac72\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac54.\]

Это значение исключается.

Ответ: $y\in\mathbb R\setminus\left\{-3,-\frac54\right\}$.