Вариант 4: 1. Преобразуйте в многочлен: a) (2x - 1)²; б) (За + с)²; в) (y - 5)(y + 5); г) (4b + 5c)(4b – 5c). 2. Упростите выражение (x + y)(x - y) – (x² + 3y²). 3. Разложите на множители: a) 16y² - 0,25; б) а² + 10ab + 25b². 4. Решите уравнение (5 - x)² - x(2,5 + x) = 0. 5. Выполните действия: a) (2a - b²)(2a + b²); б) (x - 6x³)²; в) (y + b)²(y - b)². 6. Разложите на множители: a) \(\frac{1}{81}\)a² - 0,09c⁴; б) (b + 8)² - 4b²; в) a⁹ - b³.

Решение:

1. Преобразование в многочлен:
   • a) \((2x - 1)² = (2x)² - 2  2x  1 + 1² = 4x² - 4x + 1\)
   • б) \((3a + c)² = (3a)² + 2  3a  c + c² = 9a² + 6ac + c²\)
   • в) \((y - 5)(y + 5) = y² - 5² = y² - 25\)
   • г) \((4b + 5c)(4b – 5c) = (4b)² - (5c)² = 16b² - 25c²\)
2. Упрощение выражения:
   • \[ (x + y)(x - y) – (x² + 3y²) = (x² - y²) - (x² + 3y²) = x² - y² - x² - 3y² = -4y² \]
3. Разложение на множители:
   • a) \(16y² - 0,25 = (4y)² - (0,5)² = (4y - 0,5)(4y + 0,5)\) (разность квадратов)
   • б) \(a² + 10ab + 25b² = (a + 5b)²\) (квадрат суммы)
4. Решение уравнения:
   • \[ (5 - x)² - x(2,5 + x) = 0 \]
   • \[ (25 - 10x + x²) - (2,5x + x²) = 0 \]
   • \[ 25 - 10x + x² - 2,5x - x² = 0 \]
   • \[ 25 - 12,5x = 0 \]
   • \[ 12,5x = 25 \]
   • \[ x = \frac{25}{12,5} = 2 \]
5. Выполнение действий:
   • a) \((2a - b²)(2a + b²) = (2a)² - (b²)² = 4a² - b⁴\) (разность квадратов)
   • б) \((x - 6x³)² = x² - 2  x  6x³ + (6x³)² = x² - 12x⁴ + 36x⁶\)
   • в) \((y + b)²(y - b)² = ((y + b)(y - b))² = (y² - b²)² = y⁴ - 2y²b² + b⁴\)
6. Разложение на множители:
   • a) \(\frac{1}{81}a² - 0,09c⁴ = (\frac{1}{9}a)² - (0,3c²)² = (\frac{1}{9}a - 0,3c²)(\frac{1}{9}a + 0,3c²)\) (разность квадратов)
   • б) \((b + 8)² - 4b²\)
   • \[ = (b + 8)² - (2b)² \]
   • \[ = ((b + 8) - 2b)((b + 8) + 2b) \]
   • \[ = (b + 8 - 2b)(b + 8 + 2b) \]
   • \[ = (8 - b)(3b + 8) \] (разность квадратов)
   • в) \(a⁹ - b³ = (a³ )³ - b³\)
   • \[ = (a³ - b)((a³)² + a³b + b²) \]
   • \[ = (a³ - b)(a⁶ + a³b + b²) \] (разность кубов)

Ответ:

• 1. a) \(4x² - 4x + 1\), б) \(9a² + 6ac + c²\), в) \(y² - 25\), г) \(16b² - 25c²\)
• 2. \(-4y²\)
• 3. a) \((4y - 0,5)(4y + 0,5)\), б) \((a + 5b)²\)
• 4. \(x = 2\)
• 5. a) \(4a² - b⁴\), б) \(x² - 12x⁴ + 36x⁶\), в) \(y⁴ - 2y²b² + b⁴\)
• 6. a) \((\frac{1}{9}a - 0,3c²)(\frac{1}{9}a + 0,3c²)\), б) \((8 - b)(3b + 8)\), в) \((a³ - b)(a⁶ + a³b + b²)\)