Вариант 4. 1. Решите неравенства: а) (x² − 25)(x² − x − 30) ≤ 0; б) (16x⁴ − x²)(−x² − 10) ≥ 0. 2. Найдите целые решения неравенства: (x² − 10x + 21)/(x² − 14x + 49) ≤ 0. 3. Решите неравенство: (16 − x²)√((x + 2)/(x − 2)) ≥ 0.

1а) Разложим на множители:

\((x^2-25)(x^2-x-30)=(x-5)(x+5)(x-6)(x+5)=(x+5)^2(x-5)(x-6)\).

Квадратный множитель неотрицателен. Поэтому произведение неотрицательно при \(x=-5\), а при остальных значениях знак определяется произведением \((x-5)(x-6)\). Условие \((x-5)(x-6)\le0\) даёт \(x\in[5;6]\). Ответ: \(x\in\{-5\}\cup[5;6]\).

1б) Множитель \(-x^2-10\) всегда отрицателен, поэтому произведение неотрицательно тогда и только тогда, когда \(16x^4-x^2\le0\).

\(16x^4-x^2=x^2(4x-1)(4x+1)\). Следовательно, \(x=0\) или \((4x-1)(4x+1)\le0\), что вместе даёт \(x\in\left[-\dfrac14;\dfrac14\right]\).

2. Разложим числитель и знаменатель:

\(\dfrac{x^2-10x+21}{x^2-14x+49}=\dfrac{(x-3)(x-7)}{(x-7)^2}\), где \(x\ne7\).

При \(x\ne7\) знаменатель положителен, поэтому требуется \((x-3)(x-7)\le0\). Получаем \(x\in[3;7)\). Целые решения: \(3, 4, 5, 6\).

3. Область определения корня задаётся условием \(\dfrac{x+2}{x-2}\ge0\), откуда \(x\in(-\infty;-2]\cup(2;+\infty)\).

Корень неотрицателен. На области определения произведение неотрицательно, если \(16-x^2\ge0\), то есть \(-4\le x\le4\). Пересекаем с областью определения и получаем \(x\in[-4;-2]\cup(2;4]\).