Вариант 4. 1) В равнобедренной трапеции ABCM (AM — большее основание) диагональ AC — биссектриса угла A. Найдите углы трапеции, если ∠ACM = 81°. 2*) Равнобедренную трапецию диагональ разбила на два треугольника, разность периметров которых равна 2 см, а сумма оснований равна 36 см. Найдите основания трапеции.

1) Так как \(AC\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAC=\angle CAM\). В равнобедренной трапеции \(AB=CM\), а \(AC\) — общая сторона, поэтому треугольники \(ABC\) и \(ACM\) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(\angle BCA=\angle CAM\). Значит, \(\angle BAC=\angle BCA\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный.

Угол \(\angle ACM=81^\circ\). Поскольку \(AB\parallel CM\), углы \(BAC\) и \(ACM\) являются односторонними внутренними, поэтому \(\angle BAC=180^\circ-81^\circ=99^\circ\). Но \(AC\) является биссектрисой угла \(A\), следовательно, \(\angle A=2\cdot99^\circ=198^\circ\), что невозможно для внутреннего угла трапеции.

Следовательно, в условии, вероятно, имеется неточность в обозначении угла: при стандартном расположении равнобедренной трапеции диагональ не может быть биссектрисой указанного внутреннего угла при \(\angle ACM=81^\circ\). Достоверно определить углы без исправления условия нельзя.

Ответ: условие задачи противоречиво; требуется уточнить обозначение угла или расположение вершин.

2) Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), причём \(a+b=36\). Диагональ делит трапецию на два треугольника. Разность их периметров равна разности оснований, поскольку боковые стороны и диагональ входят в оба периметра и сокращаются: \[|a-b|=2.\] Получаем систему \[\begin{cases}a+b=36,\\a-b=2. \end{cases}\] Складывая уравнения, имеем \(2a=38\), откуда \(a=19\) см. Тогда \(b=36-19=17\) см.

Ответ: основания трапеции равны 19 см и 17 см.