Вариант 4. I. В треугольнике ABC C(1; 2), B(5; 4), проведены медианы CM и AH, причём M(4; 1). Найдите: а) координаты точки H; б) координаты вершины A; в) длину MC; г) длину AH.

а) Координаты точки H

Так как AH — медиана, точка H является серединой BC:

\(H=\left(\frac{5+1}{2};\frac{4+2}{2}\right)=(3;3)\).

б) Координаты вершины A

Так как CM — медиана, M — середина AB. Следовательно, \(A=2M-B\):

\(A=(2\cdot4-5;\,2\cdot1-4)=(3;-2)\).

в) Длина MC

\(MC=\sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\).

г) Длина AH

\(AH=\sqrt{(3-3)^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{25}=5\).

Ответ: а) H(3; 3); б) A(3; −2); в) √10; г) 5.