Вариант 4. Решить уравнение: \(\dfrac{1+5x}{x+1}=\dfrac{2+x}{x}\).

Знаменатели не должны быть равны нулю: \(x\ne-1\), \(x\ne0\).

Умножим обе части на произведение знаменателей:

\(x(1+5x)=(x+2)(x+1)\).

Раскроем скобки и перенесём слагаемые: \(x+5x^2=x^2+3x+2\), откуда \(4x^2-2x-2=0\).

Разделим на 2 и разложим на множители: \(2x^2-x-1=0\), \((2x+1)(x-1)=0\).

Получаем \(x=-\dfrac12\) или \(x=1\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(x=-\dfrac12;\ 1\).