Вариант 4. Решите треугольник: а) a = 4; b = 5; ∠B = 55°; б) ∠C = 110°; ∠B = 35°; c = 10; в) a = 4; b = 6; c = 9.

а) По теореме синусов:

\(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{4\sin55^\circ}{5}\approx0.6553\), поэтому \(A\approx40.93^\circ\). Второй вариант для арксинуса невозможен: вместе с \(B=55^\circ\) сумма углов превысила бы \(180^\circ\).

\(C=180^\circ-55^\circ-40.93^\circ\approx84.07^\circ\).

Ещё раз применяем теорему синусов: \(c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{5\sin84.07^\circ}{\sin55^\circ}\approx6.08\).

Ответ: \(A\approx40.93^\circ\), \(B=55^\circ\), \(C\approx84.07^\circ\); \(a=4\), \(b=5\), \(c\approx6.08\).

б) Сначала найдём третий угол: \(A=180^\circ-110^\circ-35^\circ=35^\circ\). Так как \(A=B\), то противоположные им стороны равны: \(a=b\).

По теореме синусов: \(a=b=\frac{c\sin35^\circ}{\sin110^\circ}\approx6.10\).

Ответ: \(A=35^\circ\), \(B=35^\circ\), \(C=110^\circ\); \(a\approx6.10\), \(b\approx6.10\), \(c=10\).

в) По теореме косинусов:

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{36+81-16}{108}=\frac{101}{108}\), значит, \(A\approx20.86^\circ\).

\(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{16+81-36}{72}=\frac{61}{72}\), значит, \(B\approx32.08^\circ\).

\(C=180^\circ-A-B\approx127.06^\circ\).

Ответ: \(A\approx20.86^\circ\), \(B\approx32.08^\circ\), \(C\approx127.06^\circ\); \(a=4\), \(b=6\), \(c=9\).