Вариант 4. Решите уравнения: 1) \(2^x=32\); 2) \(3^x\cdot7^x=441\); 3) \((1/7)^{(x-6)/3}=7^{(2x+8)/2}\); 4) \((1/3)^x=(1/4)^x\); 5) \(27\cdot3^{2(x+1)}-3^{x+2}=2\); 6) \(2^{3x}=5^x\); 7) \(3^x=7^{x/2}\); 8) \(3^{x+1}+3^x=108\); 9) \(1,8^{x^2-5x-11}=5,832\); 10) \(1000\cdot\sqrt[x]{0,1}=100^x\); 11) \(5^{(x-3)/2}=7^{x-3}\); 12) \(5^{2x+1}=5^x+4\); 13) \(7\cdot3^{x+1}-5^{x+2}=16\cdot3^{x+1}-5^{x+3}\); 14) \(9^{(x-1)/2}=27^{x^2-1}\); 15) \(5^{x-3}=2^{3-x}\).

1. \(32=2^5\), поэтому \(x=5\).
2. \((3\cdot7)^x=21^x=21^2\), значит \(x=2\).
3. Перепишем левую часть как \(7^{-(x-6)/3}\). Тогда \(-(x-6)/3=x+4\), откуда \(x=-3/2\).
4. При \(x\ne0\) основания \(1/3\) и \(1/4\) дают разные степени. При \(x=0\) обе части равны 1. Следовательно, \(x=0\).
5. Положим \(t=3^x>0\). Получаем \(243t^2-9t-2=0\), откуда допустимый корень \(t=1/9\). Значит, \(x=-2\).
6. \((8/5)^x=1\), поэтому \(x=0\).
7. Приравнивание после деления на положительное \(7^{x/2}\) даёт \((3/\sqrt7)^x=1\). Так как основание не равно 1, \(x=0\).
8. \(4\cdot3^x=108\), значит \(3^x=27\) и \(x=3\).
9. \(5,832=1,8^3\), поэтому \(x^2-5x-11=3\). Отсюда \((x-7)(x+2)=0\), то есть \(x=7\) или \(x=-2\).
10. При \(x\ne0\): \(10^3\cdot10^{-1/x}=10^{2x}\), значит \(2x^2-3x+1=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=1/2\); оба подходят.
11. При \(x=3\) обе части равны 1. Если \(x\ne3\), равенство потребовало бы \(\sqrt5=7\), что неверно. Поэтому \(x=3\).
12. Положим \(t=5^x>0\). Тогда \(5t^2=t+4\), то есть \((t-1)(5t+4)=0\). Допустимо только \(t=1\), следовательно, \(x=0\).
13. После переноса слагаемых получаем \(4\cdot5^{x+2}=9\cdot3^{x+1}\), то есть \((5/3)^x=27/100\). Следовательно, \(x=\log_{5/3}(27/100)\).
14. Основания приводятся к 3: \(3^{x-1}=3^{3(x^2-1)}\). Тогда \(3x^2-x-2=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-2/3\).
15. Поскольку \(2^{3-x}=2^{-(x-3)}\), имеем \(10^{x-3}=1\), значит \(x=3\).

Ответ: 1) 5; 2) 2; 3) −3/2; 4) 0; 5) −2; 6) 0; 7) 0; 8) 3; 9) −2, 7; 10) 1/2, 1; 11) 3; 12) 0; 13) \(\log_{5/3}(27/100)\); 14) −2/3, 1; 15) 3.