Вариант 4. Упростите выражение: а) $m-n+\frac{4mn}{m-n}$; б) $\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}$; в) $\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}$; г) $\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 4. Упростите выражение: а) $m-n+\frac{4mn}{m-n}$; б) $\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Представим разность $m-n$ дробью с тем же знаменателем:

$m-n+\frac{4mn}{m-n}=\frac{(m-n)^2+4mn}{m-n}=\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}=\frac{(m+n)^2}{m-n}$, где $m\ne n$.

б) Общий знаменатель — $xy(x-y)$:

$\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}=\frac{2xy+(x-y)^2}{xy(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{xy(x-y)}$, где $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$.

в) Общий знаменатель — $(p+2)(p-2)$:

$\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}=\frac{(p-1)(p-2)-(p+1)(p+2)}{p^2-4}=\frac{p^2-3p+2-(p^2+3p+2)}{p^2-4}=-\frac{6p}{p^2-4}$, где $p\ne\pm2$.

г) Разложим знаменатели: $mn-m^2=-m(m-n)$, $mn-n^2=n(m-n)$. Приведём дроби к общему знаменателю $mn(m-n)$:

$\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}=\frac{-n(8m-n)-m(m-8n)}{mn(m-n)}=\frac{n^2-m^2}{mn(m-n)}=-\frac{m+n}{mn}$, где $m\ne0$, $n\ne0$, $m\ne n$.

Ответ: а) $\frac{(m+n)^2}{m-n}$; б) $\frac{x^2+y^2}{xy(x-y)}$; в) $-\frac{6p}{p^2-4}$; г) $-\frac{m+n}{mn}$.

Вариант 4. Упростите выражение: а) \(m-n+\frac{4mn}{m-n}\); б) \(\frac{2}{x-y}+\frac{x-y}{xy}\); в) \(\frac{p-1}{p+2}-\frac{p+1}{p-2}\); г) \(\frac{8m-n}{mn-m^2}-\frac{m-8n}{mn-n^2}\).