ВАРИАНТ 4. В забеге участвуют 5 мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы размещений, так как порядок распределения первых двух мест имеет значение (первое и второе место — это разные результаты).

Формула для числа размещений из \( n \) элементов по \( k \) имеет вид: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

В данном случае:

• \( n \) — общее количество мальчиков, \( n = 5 \).
• \( k \) — количество мест, которые нужно распределить, \( k = 2 \).

Подставим значения в формулу:

\[ A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} \]\[ \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20 \]

Альтернативное решение (логическое):

Для первого места есть 5 вариантов выбора мальчика.

После того как первое место занято, для второго места остается 4 оставшихся мальчика.

Общее количество способов распределения двух первых мест равно произведению числа вариантов для первого и второго места:

\( 5 \times 4 = 20 \) способов.

Ответ: 20 способов.