Вариант 4 1. Докажите, что если стороны угла А параллельны сторонам угла В, то $\angle A = \angle B$ или $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$. 2. Через вершины А и С треугольника АВС проведены перпендикуляры соответственно к сторонам АВ и СВ. При пересечении перпендикуляры образовали угол 128°. Определите угол В.

Question

Вопрос:

Вариант 4 1. Докажите, что если стороны угла А параллельны сторонам угла В, то $\angle A = \angle B$ или $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$. 2. Через вершины А и С треугольника АВС проведены перпендикуляры соответственно к сторонам АВ и СВ. При пересечении перпендикуляры образовали угол 128°. Определите угол В.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1. Доказательство:
Пусть даны два угла $\angle A$ и $\angle B$, стороны которых попарно параллельны. Возможны два случая.
Случай 1: Углы имеют общую вершину.
Если углы имеют общую вершину и стороны одного угла параллельны сторонам другого, то они равны.
Случай 2: Углы имеют разные вершины.
Пусть стороны $OA$ || $PC$ и $OB$ || $PD$. Проведём через вершину A угла A прямую, параллельную одной из сторон угла B, например, PC. Эта прямая пересечёт сторону OB угла A в точке K.
Тогда угол $\angle OAK$ равен углу $\angle B$ (как соответственные или накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).
Угол $\angle OAK$ и угол $\angle KAB$ — смежные, их сумма равна $180^{\circ}$.
Угол $\angle A$ = $\angle OAK$ + $\angle KAB$.
Если $\angle OAK = \angle B$, то $\angle A = \angle B + \angle KAB$.
Если $\angle A$ и $\angle B$ одноименные (стороны параллельны в одном направлении), то $\angle A = \angle B$.
Если $\angle A$ и $\angle B$ разноименные (стороны параллельны в разных направлениях), то $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (так как $\angle KAB = 180^{\circ} - \angle OAK$, и $\angle A = \angle OAK + 180^{\circ} - \angle OAK = 180^{\circ}$, что неверно).
Корректнее: проведем через вершину A прямую, параллельную OB. Она пересечет PC в точке D. Тогда $\( \triangle OAK $ = $\( \triangle B $\) (соответственные углы). Угол $ KAD $ смежный с $ OAK $, поэтому $ KAD = 180 - OAK = 180 - B $. Угол A = $ OAK + KAD = B + 180 - B = 180 $ (неверно).
Правильное доказательство: Пусть стороны $OA$ || $PC$ и $OB$ || $PD$.
1. Если лучи $OA$ и $PC$ сонаправлены, а $OB$ и $PD$ сонаправлены, то $\angle A = \angle B$.
2. Если лучи $OA$ и $PC$ сонаправлены, а $OB$ и $DP$ противонаправлены, то $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
3. Если лучи $OA$ и $CP$ противонаправлены, а $OB$ и $PD$ сонаправлены, то $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
4. Если лучи $OA$ и $CP$ противонаправлены, а $OB$ и $DP$ противонаправлены, то $\angle A = \angle B$.
2. Решение:
Дано: $\triangle ABC$. Из вершин A и C проведены перпендикуляры к сторонам AB и CB соответственно. Угол между перпендикулярами равен $128^{\circ}$.
Найти: $\angle B$.
Решение:
Пусть из вершины A проведён перпендикуляр $$AK \bot CB$$, а из вершины C проведён перпендикуляр $$CL \bot AB$$. Перпендикуляры пересекаются в точке O. Угол между перпендикулярами — это угол $\angle KOL = 128^{\circ}$.
Рассмотрим четырёхугольник $$AKCL$$. Углы $\angle AKC$ и $\angle ALC$ равны $90^{\circ}$ по построению.
Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$.
$\angle KCL + \angle CAL + \angle AKC + \angle ALC = 360^{\circ}$
$\angle KCL + \angle CAL + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle KCL + \angle CAL = 180^{\circ}$
Угол $\angle CAL$ — это угол $\angle A$ треугольника.$\angle KCL$ — это угол $\angle C$ треугольника.
То есть, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$. Это верно, если четырёхугольник $$AKCL$$ вписан в окружность.
Однако, перпендикуляры проведены к сторонам. Обозначим точку пересечения перпендикуляров как O. Рассмотрим четырёхугольник $$AKOC$$. Углы $\angle AKC = 90^{\circ}$ и $\angle ALC = 90^{\circ}$.
$\angle KOC = 128^{\circ}$.
В четырёхугольнике $$AKOC$$: $\angle KAC + \angle ACO + \angle COK + \angle OKA = 360^{\circ}$
$\angle KAC = \angle A$, $\angle ACO$ — часть угла C, $\angle OKA = 90^{\circ}$, $\angle COK = 128^{\circ}$.
Есть свойство: угол между перпендикулярами, проведёнными из вершин треугольника к противолежащим сторонам, равен противолежащему углу или $180^{\circ}$ минус противолежащий угол.
Угол между перпендикулярами $$AK$$ и $$CL$$, которые пересекаются в точке O, равен $\angle AOC = 128^{\circ}$.
Рассмотрим четырёхугольник $$AKOC$$. $\angle AKC = 90^{\circ}$ (перпендикуляр к CB), $\angle ALC = 90^{\circ}$ (перпендикуляр к AB).
$\angle KAC = \angle A$, $\angle ACL$ — часть $\angle C$.
$\angle AOC = 128^{\circ}$.
В четырёхугольнике $$AKOC$$ сумма углов равна $360^{\circ}$:
$\angle OAK + \angle AKO + \angle KOC + \angle OCA = 360^{\circ}$
$\angle A + 90^{\circ} + 128^{\circ} + \angle C_1 = 360^{\circ}$, где $\angle C_1$ — часть угла C.
Другой подход: Рассмотрим четырёхугольник $$B K O L$$, где O — точка пересечения перпендикуляров. $\angle BKO = 90^{\circ}$ (перпендикуляр к CB), $\angle BLO = 90^{\circ}$ (перпендикуляр к AB).
Угол между перпендикулярами равен $128^{\circ}$. Этот угол может быть как острым, так и тупым. Обычно угол между двумя пересекающимися прямыми считают острым, но здесь указан конкретный угол.
Если угол между перпендикулярами $128^{\circ}$, то смежный с ним угол равен $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$.
В четырёхугольнике $$B K O L$$: $\angle KBL + \angle BLO + \angle LOK + \angle OKB = 360^{\circ}$
$\angle B + 90^{\circ} + 128^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ — это если $\angle LOK = 128^{\circ}$ — внешний угол.
Правило: Угол между двумя перпендикулярами, проведёнными из вершин треугольника к противолежащим сторонам, равен противолежащему углу или дополняет его до $180^{\circ}$.
Пусть O — точка пересечения перпендикуляров, проведённых из A к CB (назовём его $$AO_1$$) и из C к AB (назовём его $$CO_2$$).
Рассмотрим четырёхугольник $$B O_1 A O_2$$. $\angle B O_1 A = 90^{\circ}$ и $\angle B O_2 C = 90^{\circ}$.
$\angle O_1 B O_2 = \angle B$.
Сумма углов четырёхугольника $$B O_1 A O_2$$ равна $360^{\circ}$.
$\angle B + \angle B O_1 A + \angle A O_1 O_2 + \angle A O_2 B = 360^{\circ}$.
$\angle B + 90^{\circ} + \angle A O_1 O_2 + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B + \angle A O_1 O_2 = 180^{\circ}$.
Угол $\angle A O_1 O_2$ — это угол между перпендикулярами. Он равен $128^{\circ}$.
$\angle B + 128^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle B = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$.
Если угол между перпендикулярами равен $128^{\circ}$, то другой угол равен $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$.
В таких задачах угол между перпендикулярами, проведёнными к сторонам треугольника, равен противолежащему углу или $180^{\circ}$ минус противолежащий угол.
Так как $128^{\circ}$ — тупой угол, то противолежащий ему угол $\angle B$ должен быть острым.
Угол между перпендикулярами равен $\angle B$ или $180^{\circ} - \angle B$.
Если $\angle B = 128^{\circ}$, то это тупой угол в треугольнике, что возможно. Но обычно угол между прямыми берётся как острый.
Если угол между перпендикулярами равен $128^{\circ}$, то это означает, что один из углов четырёхугольника, образованного вершиной $B$ и точками пересечения перпендикуляров с перпендикулярами, равен $180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$.
$\angle B = 52^{\circ}$.

Ответ: $\angle B = 52^{\circ}$.