Вариант 4 1. Градусная мера одного из смежных углов составляет 80% градусной меры другого. Найдите эти углы. 2. Чему равен угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 260°? 3. Даны две пересекающиеся прямые. Сумма трех образовавшихся углов в 8 раз больше четвертого угла. Найдите этот угол. 4. Чему равен угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный 83°?

Вариант 4

1. 
   

   Пусть градусная мера одного угла равна \( x \), а другого — \( y \).

   
   

   По условию, \( x = 0.8y \) и \( x + y = 180^\circ \) (так как углы смежные).

   
   

   Подставим первое уравнение во второе:

   
   

   \( 0.8y + y = 180^\circ \)
   \( 1.8y = 180^\circ \)
   \( y = 100^\circ \)

   
   

   Найдем \( x \):

   
   

   \( x = 0.8 · 100^\circ = 80^\circ \)

   
   


2. 
   

   Пусть искомый угол равен \( α \). Два смежных с ним угла равны \( β \) и \( γ \).

   
   

   По условию, \( β + γ = 260^\circ \).

   
   

   Сумма трех углов, составляющих развернутый угол, равна \( 180^\circ \): \( α + β + γ = 180^\circ \).

   
   

   Подставляем значение суммы \( β + γ \):

   
   

   \( α + 260^\circ = 180^\circ \)
   \( α = 180^\circ - 260^\circ \)
   \( α = -80^\circ \)

   
   

   Угол не может быть отрицательным. Возможно, условие задачи некорректно, либо имеется в виду сумма всех трех углов, тогда \( α + β + γ = 260^\circ \) не является развернутым углом. Если же \( α \) — искомый угол, а \( β \) и \( γ \) — смежные с ним, то \( α + β = 180^\circ \) и \( α + γ = 180^\circ \). Таким образом, \( β \) и \( γ \) должны быть равны \( α \). То есть, \( α + α + α = 260^\circ \rightarrow 3α = 260^\circ \rightarrow α = 260/3^\circ \).

   
   

   Если же подразумевается, что \( α \) — это один из углов, а \( β \) и \( γ \) — это ДВА смежных угла, то есть \( β + γ = 180^\circ \), и \( α \) — это отдельный угол, то данное условие некорректно. Примем, что \( α \) — угол, и рядом с ним есть еще два смежных угла, сумма которых \( 260^\circ \).

   
   

   Предположим, что задача подразумевает, что искомый угол \( α \) и еще ДВА смежных с ним угла составляют суммарно \( 260^\circ \). Тогда \( α + β + γ = 260^\circ \). Но \( α, β, γ \) не обязательно смежные. Если \( α \) — угол, и \( β \) и \( γ \) — смежные с ним, то \( α + β = 180^\circ \), \( α + γ = 180^\circ \). Углы \( β \) и \( γ \) — вертикальные, т.е. \( β = γ \). Тогда \( 2β = 180^\circ \rightarrow β = 90^\circ \). В этом случае \( α = 90^\circ \). Тогда \( β + γ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). Это противоречит условию \( 260^\circ \).

   
   

   Наиболее вероятная интерпретация: есть угол \( α \). И есть еще два смежных с ним угла, суммарно равные \( 260^\circ \). Это нелогично. Давайте предположим, что \( α \) — один из углов, а \( β \) — смежный с ним. Тогда \( α + β = 180^\circ \). Если \( α \) — это тот угол, сумма двух смежных с которым равна \( 260^\circ \), то \( α = 180^\circ - 260^\circ = -80^\circ \) (что невозможно).

   
   

   Предположим, что \( α \) — угол, а \( β \) и \( γ \) — два других угла, при пересечении двух прямых. Вертикальные углы равны: \( α = γ \) и \( β = δ \). Сумма углов равна \( 360^\circ \). Если \( α \) — искомый угол, а \( β \) и \( γ \) — смежные с ним, то \( α + β = 180^\circ \) и \( α + δ = 180^\circ \). Если \( β + γ = 260^\circ \), и \( γ = α \), то \( β + α = 260^\circ \). Также \( α + β = 180^\circ \). Это противоречие.

   
   

   Единственный логичный вариант: искомый угол \( α \). Сумма двух смежных с ним углов равна \( 260^\circ \). Это означает, что \( α \) является частью развернутого угла, а \( 260^\circ \) — это сумма двух смежных с ним углов. Это невозможно, так как сумма двух смежных углов равна \( 180^\circ \). Если же \( α \) — угол, и \( β \) — смежный с ним, \( α + β = 180^\circ \). Если \( α \) — искомый, и \( β \) и \( γ \) — два смежных с ним, то \( α + β + γ = 180^\circ \) — неверно. Если \( α \) — угол, и \( β \) — смежный, \( γ \) — смежный с \( β \), но не с \( α \). Тогда \( α \) и \( γ \) — вертикальные. \( α + β = 180^\circ \). \( β + γ = 260^\circ \). \( α = γ \). Подставляем: \( β + α = 260^\circ \). У нас система: \( α + β = 180^\circ \) и \( α + β = 260^\circ \). Это противоречие.

   
   

   Наиболее вероятная интерпретация: есть угол \( α \), и сумма двух углов, смежных с ним, равна \( 260^\circ \). Это возможно, если \( α \) — тупой угол, и два смежных с ним угла — острые. Пусть \( α \) — искомый угол. Углы, смежные с \( α \), обозначаем \( β \) и \( γ \). Тогда \( α + β = 180^\circ \) и \( α + γ = 180^\circ \). Углы \( β \) и \( γ \) — вертикальные, поэтому \( β = γ \). Условие: \( β + γ = 260^\circ \). Так как \( β = γ \), то \( 2β = 260^\circ \), откуда \( β = 130^\circ \). Тогда \( α = 180^\circ - β = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).

   
   


3. 
   

   Пусть при пересечении двух прямых образовались углы \( α, β, γ, δ \). Вертикальные углы равны: \( α = γ \) и \( β = δ \). Сумма всех углов равна \( 360^\circ \).

   
   

   Сумма трех углов в 8 раз больше четвертого. Обозначим четвертый угол как \( x \). Тогда сумма трех других углов равна \( 8x \).

   
   

   Общая сумма углов: \( x + 8x = 360^\circ \)
   \( 9x = 360^\circ \)
   \( x = 40^\circ \)

   
   

   Четвертый угол равен \( 40^\circ \). Сумма трех остальных углов равна \( 8 · 40^\circ = 320^\circ \).

   
   

   Теперь нужно определить, какие три угла дают в сумме \( 320^\circ \). Возможны два случая:

   
   
   
   
   1. Три угла: \( α, β, γ \). Четвертый — \( δ \). Тогда \( δ = x = 40^\circ \). Так как \( β = δ \), то \( β = 40^\circ \). Сумма остальных углов: \( α + γ + δ = 320^\circ \). Учитывая, что \( α = γ \) и \( δ = 40^\circ \): \( 2α + 40^\circ = 320^\circ \). \( 2α = 280^\circ \). \( α = 140^\circ \). Углы: \( 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 40^\circ \). Сумма трех (например, \( 140^\circ + 140^\circ + 40^\circ = 320^\circ \)) в 8 раз больше четвертого (\( 40^\circ \)).
   
   
   2. Три угла: \( α, β, δ \). Четвертый — \( γ \). Тогда \( γ = x = 40^\circ \). Так как \( α = γ \), то \( α = 40^\circ \). Сумма остальных углов: \( α + β + δ = 320^\circ \). Учитывая, что \( β = δ \) и \( α = 40^\circ \): \( 40^\circ + 2β = 320^\circ \). \( 2β = 280^\circ \). \( β = 140^\circ \). Углы: \( 40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ \). Сумма трех (например, \( 40^\circ + 140^\circ + 140^\circ = 320^\circ \)) в 8 раз больше четвертого (\( 40^\circ \)).
   
   
   
   

   В обоих случаях получаем углы \( 140^\circ \) и \( 40^\circ \). Четвертый угол — \( 40^\circ \).

   
   


4. 
   

   Пусть искомый угол равен \( α \). Его биссектриса делит его пополам, то есть образует два угла по \( α/2 \).

   
   

   По условию, биссектриса образует со стороной угла угол, равный \( 83^\circ \). Это означает, что \( α/2 = 83^\circ \).

   
   

   \( α = 2 · 83^\circ \)
   \( α = 166^\circ \)

   
   

Ответ: 1. 80°, 100°; 2. 50°; 3. 40°; 4. 166°.