Вариант 4 1. Преобразуйте в многочлен: a) (2x - 1)²; б) (3a + c)²; в) (y - 5)(y + 5); г) (4b + 5c)(4b - 5c). 2. Упростите выражение (x + y)(x - y) - (x² + 3y²). 3. Разложите на множители: a) 16y² - 0,25; б) a² + 10ab + 25b². 4. Решите уравнение (5 - x)² - x(2,5 + x) = 0. 5. Выполните действия: a) (2a - b²)(2a + b²); б) (x - 6x)²; в) (y + b)²(y - b)². 6. Разложите на множители: a) 1/81 a⁴ - 0,09c⁴; б) (b + 8)² - 4b²; в) a³ - b³.

Решение:

• 1. Преобразование в многочлен:
  • а) \( (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \)
  • б) \( (3a + c)^2 = 9a^2 + 6ac + c^2 \)
  • в) \( (y - 5)(y + 5) = y^2 - 25 \)
  • г) \( (4b + 5c)(4b - 5c) = 16b^2 - 25c^2 \)
• 2. Упрощение выражения: \( (x+y)(x-y) - (x^2+3y^2) = (x^2 - y^2) - (x^2 + 3y^2) = x^2 - y^2 - x^2 - 3y^2 = -4y^2 \)
• 3. Разложение на множители:
  • а) \( 16y^2 - 0.25 = (4y - 0.5)(4y + 0.5) \)
  • б) \( a^2 + 10ab + 25b^2 = (a + 5b)^2 \)
• 4. Решение уравнения: \( (5-x)^2 - x(2.5+x) = 0 \)
  \( 25 - 10x + x^2 - (2.5x + x^2) = 0 \)
  \( 25 - 10x + x^2 - 2.5x - x^2 = 0 \)
  \( 25 - 12.5x = 0 \)
  \( 12.5x = 25 \)
  \( x = 2 \)
• 5. Выполнение действий:
  • а) \( (2a - b^2)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4 \)
  • б) \( (x - 6x)^2 = (-5x)^2 = 25x^2 \)
  • в) \( (y + b)^2(y - b)^2 = ((y+b)(y-b))^2 = (y^2 - b^2)^2 = y^4 - 2y^2b^2 + b^4 \)
• 6. Разложение на множители:
  • а) \( \frac{1}{81}a^4 - 0.09c^4 = (\frac{1}{9}a^2 - \frac{3}{10}c^2)(\frac{1}{9}a^2 + \frac{3}{10}c^2) \)
  • б) \( (b+8)^2 - 4b^2 = (b+8 - 2b)(b+8 + 2b) = (8-b)(3b+8) \)
  • в) \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)

Ответ: 1. а) 4x² - 4x + 1; б) 9a² + 6ac + c²; в) y² - 25; г) 16b² - 25c². 2. -4y². 3. а) (4y - 0.5)(4y + 0.5). б) (a + 5b)². 4. x = 2. 5. а) 4a² - b⁴. б) 25x². в) y⁴ - 2y²b² + b⁴. 6. а) (1/9 a² - 3/10 c²)(1/9 a² + 3/10 c²). б) (8 - b)(3b + 8). в) (a - b)(a² + ab + b²).