ВАРИАНТ 4 1. Точки А, В, С и D последовательно лежат на окружности, ∠CAD = 44°, ∠CDB=52°. Найдите ∠CBD. 2. KP — диаметр окружности, AK — хорда. Найдите ∠APK, если ∠AKP = 47°. 3. Точки А, В и С лежат на окружности с центром O, ∠ABC=110°. Найдите ∠AOC.

Question

Accepted Answer

1. Нахождение ∠CBD:

Угол ∠CAD — вписанный и опирается на дугу CD. Следовательно, дуга CD равна \( 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 44° = 88° \).
Угол ∠CBD — вписанный и опирается на ту же дугу CD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle CAD = 44° \) (углы, опирающиеся на одну дугу, равны).

2. Нахождение ∠APK:

Треугольник △AKP вписан в окружность. Так как KP — диаметр, то угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, \( \angle KAO = 90° \) (угол, вписанный в полуокружность).
В треугольнике △AKP сумма углов равна 180°. \( \angle PAK + \angle AK P + \angle KPA = 180° \).
\( \angle PAK + 47° + \angle KPA = 180° \).
\( \angle PAK = 180° - 47° - \angle KPA \).
Угол ∠APK — это угол KPA.
В треугольнике △AKO, OA = OK (радиусы), значит, △AKO равнобедренный.
В треугольнике △AKP, ∠AKP = 47°.
Так как KP — диаметр, то угол, опирающийся на диаметр, прямой, т.е. \( \angle KAO = 90° \).
В прямоугольном треугольнике △AKO, \( \angle AOK = 180° - 90° - \angle AKO \).
Рассмотрим треугольник △AKP. Так как KP - диаметр, то угол ∠KAР вписан в полуокружность и равен 90°.
Сумма углов в △AKP: \( \angle PAK + \angle AK P + \angle KPA = 180° \).
\( 90° + 47° + \angle KPA = 180° \).
\( 137° + \angle KPA = 180° \).
\( \angle KPA = 180° - 137° = 43° \).

3. Нахождение ∠AOC:

Угол ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Следовательно, дуга AC равна \( 2 \cdot \angle ABC \) или \( 2 \cdot (180° - \angle ABC) \).
Так как \( \angle ABC = 110° > 90° \), то угол является тупым, и он опирается на большую дугу AC.
Большая дуга AC = \( 2 \cdot 110° = 220° \).
Центральный угол ∠AOC опирается на меньшую дугу AC.
Меньшая дуга AC = 360° - 220° = 140°.
Следовательно, \( \angle AOC = 140° \).

Ответ: 1. ∠CBD = 44°; 2. ∠APK = 43°; 3. ∠AOC = 140°.