ВАРИАНТ 4 1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если AB=7, BD = 2,5. 2. Точка О — центр окружности. Докажите, что ΔAOB = ΔDOC, если точки А, В, С и D лежат на окружности и ∠AOR = ∠COD. 3*. В окружности проведены диаметры МР и DF. Докажите, что ∠MFD = ∠PDF.

Решение:

ВАРИАНТ 4

1. В треугольнике BOD: OB = OD (радиусы окружности). AB — диаметр, значит, OB = OA = 7. BD = 2.5. Периметр треугольника BOD равен OB + OD + BD = 7 + 7 + 2.5 = 16.5.
2. Дано: A, B, C, D лежат на окружности, ∠AOB = ∠COD. OA = OB = OC = OD = R (радиусы). В треугольниках AOB и DOC: OA = OC (радиусы), OB = OD (радиусы), ∠AOB = ∠COD (по условию). Следовательно, ΔAOB = ΔDOC по двум сторонам и углу между ними (1-му признаку равенства треугольников).
3. Дано: MP и DF — диаметры. Рассмотрим треугольники MFD и PFD. Угол ∠MFD и угол ∠PDF являются центральными углами, опирающимися на дуги MD и PD соответственно. Так как MP и DF — диаметры, то дуга MD равна дуге PD. Следовательно, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: ∠MFD = ∠PDF.

Ответ: 1. Периметр треугольника BOD равен 16.5.