Вариант 5. Решите треугольник: а) a = 6; b = 5; ∠A = 86°; б) ∠C = 100°; ∠B = 40°; b = 9; в) a = 7; b = 9; c = 13.

Используем стандартные обозначения: стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C соответственно.

а) По теореме синусов: sin B = b·sin A/a = 5·sin 86°/6, поэтому B ≈ 56,3°. Второе значение синуса, 180° − 56,3° = 123,7°, невозможно: вместе с A оно превышает 180°.

C = 180° − 86° − 56,3° ≈ 37,7°. По теореме синусов c = a·sin C/sin A ≈ 6·sin 37,7°/sin 86° ≈ 3,7.

б) A = 180° − 100° − 40° = 40°. Так как A = B, то противоположные им стороны равны: a = b = 9. По теореме синусов c = b·sin C/sin B = 9·sin 100°/sin 40° ≈ 13,8.

в) По теореме косинусов:

cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (9² + 13² − 7²)/(2·9·13) = 201/234, поэтому A ≈ 30,8°.

cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (7² + 13² − 9²)/(2·7·13) = 137/182, поэтому B ≈ 41,2°.

C = 180° − A − B ≈ 108,0°.

Ответ: а) A = 86°, B ≈ 56,3°, C ≈ 37,7°; c ≈ 3,7. б) A = 40°, B = 40°, C = 100°; a = 9, b = 9, c ≈ 13,8. в) A ≈ 30,8°, B ≈ 41,2°, C ≈ 108,0°.