Вариант 5 Часть первая (1.1) Представьте в виде степени выражение √n · n Ответ: В) n (1.2) Решите неравенство 0,5*x < 0,25 Ответ: б) (2; +∞) (1.3) Упростите выражение cos(π+α) + sin(π/2+α) Ответ: А) 0. (1.4) Найдите производную функции f(x) = x + e^x Ответ: 1+e^x (1.5) вычислите интеграл ∫(1/2√x)dx от 1 до 4 Ответ: J) 1. (1.6) Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 6 см, а высота призмы равна √3 см Ответ: Б) 27√3 см³. 1.7 Найдите х, если векторы ā(х;2;-с) и В(3;4;2) взаимно перпендикулярны Ответ: Б) -2. Часть вторая 2.1 Решите уравнение √23-х = x-3 Решение √23-x = x-3 (√23-x)² = (x-3)² 23-x = x²-6x+9 x²-6x+9+x-23=0 x²-5x-14=0 D = 25-4·1·(-14) = 25+56=81 x₁ = (5+9)/2 = 7; x₂ = (5-9)/2 = -4/2 = -2. Проверка: x = 7; √23-7 = 7-3; √16 = 4; 4 = 4. верно Ответ: 7. x = -2; √23-(-2) = -2-3 √25 = -5 не верно 5 ≠ -5 значит, x=-2 – посторонний корень

Часть первая

(1.1) Представьте в виде степени выражение \( \sqrt{n} \cdot n \).

Ответ: В) \( n^{3/2} \)

(1.2) Решите неравенство \( 0,5^x < 0,25 \).

Ответ: б) \( (2; +\infty) \)

(1.3) Упростите выражение \( \cos(\pi+\alpha) + \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha) \).

Ответ: А) 0.

(1.4) Найдите производную функции \( f(x) = x + e^x \).

Ответ: \( 1+e^x \)

(1.5) вычислите интеграл \( \int_{1}^{4} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \).

Ответ: J) 1.

(1.6) Найдите объём правильной треугольной призмы, у которой сторона основания равна 6 см, а высота призмы равна \( \sqrt{3} \) см.

Ответ: Б) \( 27\sqrt{3} \) см³.

1.7 Найдите х, если векторы \( \vec{a}(x;2;-c) \) и \( \vec{B}(3;4;2) \) взаимно перпендикулярны.

Ответ: Б) -2.

Часть вторая

2.1 Решите уравнение \( \sqrt{23-x} = x-3 \).

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{23-x})^2 = (x-3)^2 \)

\( 23-x = x^2 - 6x + 9 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 6x + 9 - 23 + x = 0 \)

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \)

Найдём корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Проверка:

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Для \( x = 7 \):

\( \sqrt{23-7} = 7-3 \)

\( \sqrt{16} = 4 \)

\( 4 = 4 \)

Это верно.

Для \( x = -2 \):

\( \sqrt{23-(-2)} = -2-3 \)

\( \sqrt{25} = -5 \)

\( 5 = -5 \)

Это неверно. Значит, \( x = -2 \) является посторонним корнем.

Ответ: 7.