Вариант 6. 1. Найти производную функции y = 3x^4 + 5cosx + x 2. Скорость движения точки v (t) = (9t^2 - 8t) м/с. Найти путь, пройденный точкой за четыре секунды от начала движения.

Вариант 6

1. 1. Найти производную функции: \( y = 3x^4 + 5\cos x + x \)
   \( y' = (3x^4)' + (5\cos x)' + (x)' \)
   \( y' = 12x^3 - 5\sin x + 1 \)
2. 2. Скорость движения точки: \( v(t) = 9t^2 - 8t \) м/с. Найти путь за 4 секунды.
   Сначала найдём, когда точка останавливается:
   \( 9t^2 - 8t = 0 \)
   \( t(9t - 8) = 0 \)
   \( t = 0 \) или \( 9t - 8 = 0 \) \( \Rightarrow t = \frac{8}{9} \) секунды.
   В интервале от 0 до \( \frac{8}{9} \) скорость отрицательная (например, при \( t=0.5 \), \( v(0.5) = 9(0.25) - 8(0.5) = 2.25 - 4 = -1.75 \)).
   В интервале от \( \frac{8}{9} \) до 4 скорость положительная (например, при \( t=1 \), \( v(1) = 9-8=1 \)).
   Путь \( S = \int_{0}^{4} |v(t)| dt \).
   \( \int_{0}^{8/9} (9t^2 - 8t) dt = \left[ \frac{9t^3}{3} - \frac{8t^2}{2} \right]_{0}^{8/9} = \left[ 3t^3 - 4t^2 \right]_{0}^{8/9} \)
   \( = 3\left(\frac{8}{9}\right)^3 - 4\left(\frac{8}{9}\right)^2 = 3\frac{512}{729} - 4\frac{64}{81} = \frac{1536}{729} - \frac{256}{81} = \frac{1536 - 2304}{729} = -\frac{768}{729} = -\frac{256}{243} \).
   \( \int_{8/9}^{4} (9t^2 - 8t) dt = \left[ 3t^3 - 4t^2 \right]_{8/9}^{4} = \left( 3(4)^3 - 4(4)^2 \right) - \left( 3(\frac{8}{9})^3 - 4(\frac{8}{9})^2 \right) \)
   \( = (3 \cdot 64 - 4 \cdot 16) - (-\frac{256}{243}) = (192 - 64) + \frac{256}{243} = 128 + \frac{256}{243} = \frac{128 \cdot 243 + 256}{243} = \frac{31104 + 256}{243} = \frac{31360}{243} \).
   Общий путь = \( |-\frac{256}{243}| + |\frac{31360}{243}| = \frac{256}{243} + \frac{31360}{243} = \frac{31616}{243} \) метра.

Ответ: 1. \( y' = 12x^3 - 5\sin x + 1 \). 2. \( \frac{31616}{243} \) метра.