Вариант 7: найти экстремум функции Z = 6x₁ + x₂ при ограничениях 3x₁ − x₂ ≥ 9, 2x₁ + 3x₂ ≤ 50, −x₁ + 4x₂ ≥ 19, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0. Направление оптимизации в видимой части изображения не указано.

В видимой части изображения не указано, требуется ли найти минимум или максимум. Найдём вершины допустимой области и значения функции в них — это позволяет определить оба экстремума.

Перепишем ограничения для построения граничных прямых: \(x_2 \le 3x_1-9\), \(x_2 \le (50-2x_1)/3\), \(x_2 \ge (x_1+19)/4\).

Вершины области находятся в пересечениях граничных прямых:

1. \(3x_1-9=(x_1+19)/4\): получаем \((x_1,x_2)=(5,6)\).
2. \(3x_1-9=(50-2x_1)/3\): получаем \((x_1,x_2)=(7,12)\).
3. \((50-2x_1)/3=(x_1+19)/4\): получаем \((x_1,x_2)=(13,8)\).

Вычислим целевую функцию в вершинах:

• \(Z(5,6)=6\cdot5+6=36\).
• \(Z(7,12)=6\cdot7+12=54\).
• \(Z(13,8)=6\cdot13+8=86\).

Ответ: минимум \(Z=36\) в точке \((5,6)\); максимум \(Z=86\) в точке \((13,8)\).