Вариант 7 1. Расстояние от центра окружности до хорды KL равно 9 см, длина хорды — 40 см. Найдите радиус окружности. 2. Из точки M проведены касательные MN и MP к окружности. MN = 25 см. Найдите MP. 3. Центральный угол GHI равен 125°. Определите градусную меру дуги GI. 4. Хорды AB и CD пересекаются в точке E. AE = 12 см, EB = 5 см. CE = 6 см. Найдите ED. 5. Из точки F проведена касательная к окружности радиуса 7 см. Расстояние OF = 25 см (O — центр). Найдите длину касательной FG.

Решение:

1. 
   

   Дано:

   
   
   
   
   • Расстояние от центра до хорды (h) = 9 см
   
   
   • Длина хорды (a) = 40 см
   
   
   
   

   Найти: Радиус окружности (R)

   
   

   Решение:

   
   

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом (гипотенуза), половиной хорды (катет) и расстоянием от центра до хорды (катет). По теореме Пифагора:

   
   

   \( R^2 = h^2 + (a/2)^2 \)

   
   

   \( R^2 = 9^2 + (40/2)^2 \)

   
   

   \( R^2 = 81 + 20^2 \)

   
   

   \( R^2 = 81 + 400 \)

   
   

   \( R^2 = 481 \)

   
   

   \( R = \sqrt{481} \text{ см} \)

   
   

   Ответ: Радиус окружности равен \( \sqrt{481} \) см.

   
   


2. 
   

   Дано:

   
   
   
   
   • MN и MP — касательные к окружности из точки M
   
   
   • MN = 25 см
   
   
   
   

   Найти: MP

   
   

   Решение:

   
   

   По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, их длины равны.

   
   

   Следовательно, \( MP = MN \).

   
   

   \( MP = 25 \text{ см} \)

   
   

   Ответ: Длина касательной MP равна 25 см.

   
   


3. 
   

   Дано:

   
   
   
   
   • Центральный угол \( \angle GHI = 125^{\circ} \)
   
   
   
   

   Найти: Градусная мера дуги GI

   
   

   Решение:

   
   

   Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

   
   

   Следовательно, градусная мера дуги GI равна градусной мере \( \angle GHI \).

   
   

   Дуга GI = \( 125^{\circ} \)

   
   

   Ответ: Градусная мера дуги GI равна 125°.

   
   


4. 
   

   Дано:

   
   
   
   
   • Хорды AB и CD пересекаются в точке E
   
   
   • AE = 12 см
   
   
   • EB = 5 см
   
   
   • CE = 6 см
   
   
   
   

   Найти: ED

   
   

   Решение:

   
   

   По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

   
   

   \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \)

   
   

   \( 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot ED \)

   
   

   \( 60 \text{ см}^2 = 6 \text{ см} \cdot ED \)

   
   

   \( ED = \frac{60 \text{ см}^2}{6 \text{ см}} \)

   
   

   \( ED = 10 \text{ см} \)

   
   

   Ответ: Длина отрезка ED равна 10 см.

   
   


5. 
   

   Дано:

   
   
   
   
   • O — центр окружности
   
   
   • Радиус (r) = 7 см
   
   
   • Расстояние от центра до точки F (OF) = 25 см
   
   
   • FG — касательная к окружности, проведенная из точки F
   
   
   
   

   Найти: Длину касательной FG

   
   

   Решение:

   
   

   Рассмотрим прямоугольный треугольник OFG, где OG — радиус, проведенный в точку касания G, и поэтому перпендикулярен касательной FG. OF — гипотенуза.

   
   

   По теореме Пифагора:

   
   

   \( OF^2 = OG^2 + FG^2 \)

   
   

   \( 25^2 = 7^2 + FG^2 \)

   
   

   \( 625 = 49 + FG^2 \)

   
   

   \( FG^2 = 625 - 49 \)

   
   

   \( FG^2 = 576 \)

   
   

   \( FG = \sqrt{576} \text{ см} \)

   
   

   \( FG = 24 \text{ см} \)

   
   

   Ответ: Длина касательной FG равна 24 см.