Вариант 8. 1. Вычислите \(25^{1,5}+(0,25)^{-0,5}-81^{0,75}\). 2. Решите неравенство \(\log_9(4-3x)>0,5\). 3. Решите уравнение \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(-\frac{\pi}{4})\). 4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что: а) область определения функции — промежуток [−3; 5]; б) значения функции составляют промежуток [−4; 4]; в) в правом конце области определения функция принимает наибольшее значение; г) −1 — единственная точка экстремума функции. 5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S=5t−0,5t² (м), где t — время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения.

1. Преобразуем степени: \(25^{1,5}=25^{3/2}=125\), \((0,25)^{-0,5}=1/\sqrt{0,25}=2\), \(81^{0,75}=81^{3/4}=27\).

   Тогда \(125+2-27=100\).

2. Область определения: \(4-3x>0\). Так как основание 9 больше 1, логарифмическая функция возрастает:

   \(\log_9(4-3x)>0,5\iff 4-3x>9^{0,5}=3\).

   Отсюда \(x<\frac13\); это также удовлетворяет области определения.

3. Используем тождество \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x\). Получаем \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

   Следовательно, \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

4. Подойдёт непрерывная ломаная через точки (−3; 4), (−1; −4), (5; 4). На участке от −3 до −1 функция убывает, а от −1 до 5 возрастает. Поэтому единственная внутренняя точка экстремума — −1, а наибольшее значение 4 достигается в правом конце области определения.

5. Скорость — производная расстояния по времени: \(v(t)=S'(t)=5-t\) м/с.

   При \(t=2\): \(v(2)=5-2=3\) м/с.

Ответ: 1) 100; 2) \(x<\frac13\); 3) \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); 5) 3 м/с.