Вариант 9. 1. Решите неравенство \(\frac{(x+5)(x-7)}{3x-1}>0\). 2. Решите уравнение \(3^{x+2}-5\cdot3^x=36\). 3. Найдите корни уравнения \((\sin x+1)^2=\sin^2x+1\), принадлежащие отрезку [0; 2π]. 4. Изобразите график непрерывной функции, зная, что: а) область определения функции — промежуток [−5; 2]; б) значения функции составляют промежуток [−3; 4]; в) в правом конце области определения функция принимает наибольшее значение; г) значения функции отрицательны только в точках промежутка (−4; 0). 5. Найдите первообразную функции \(f(x)=x^2-5\), график которой проходит через точку (3; 4).

1. Критические точки: нули числителя −5 и 7; знаменатель обращается в ноль при \(x=\frac13\), поэтому эта точка исключена из области определения. Знаки выражения на промежутках чередуются; выражение положительно на \((-5;\frac13)\) и \((7;+\infty)\).

2. Вынесем \(3^x\): \(3^{x+2}-5\cdot3^x=(9-5)3^x=36\). Тогда \(3^x=9=3^2\), следовательно, \(x=2\).

3. Раскроем скобки: \(\sin^2x+2\sin x+1=\sin^2x+1\), поэтому \(\sin x=0\). На отрезке [0; 2π] это даёт \(x=0,\pi,2\pi\).

4. Подойдёт непрерывная ломаная через точки (−5; 1), (−4; 0), (−2; −3), (0; 0), (2; 4). Она отрицательна только при \(-4<x<0\), имеет наименьшее значение −3 и принимает наибольшее значение 4 при \(x=2\).

5. Общая первообразная: \(F(x)=\frac{x^3}{3}-5x+C\). Условие прохождения графика через (3; 4) означает \(F(3)=4\): \(9-15+C=4\), откуда \(C=10\).

   Искомая первообразная: \(F(x)=\frac{x^3}{3}-5x+10\).

Ответ: 1) \((-5;\frac13)\cup(7;+\infty)\); 2) \(x=2\); 3) \(0,\pi,2\pi\); 5) \(F(x)=\frac{x^3}{3}-5x+10\).