Вариант А2 1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что △AOD = ABOC. б) Найдите ∠OBC, если ZODA = 40°, ∠BOC = 95°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.

Вариант А2

1.

а) В треугольнике ABC даны углы ∠A = 100° и ∠C = 40°. Найдем угол ∠B:

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 100° - 40° = 40°.

Так как ∠B = ∠C = 40°, то треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и AC.

б) СК - биссектриса, значит, ∠ACK = ∠BCK = ∠C / 2 = 40° / 2 = 20°.

Рассмотрим треугольник ACK: ∠ACK = 20°, ∠A = 100°. Тогда ∠AKC = 180° - ∠A - ∠ACK = 180° - 100° - 20° = 60°.

Так как ∠AKC и ∠BKC - смежные, то ∠BKC = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120°.

Таким образом, биссектриса СК образует со стороной АВ углы 60° и 120°.

2.

а) Рассмотрим треугольники AOD и BOC:

AO = OB (так как O - середина AB), CO = OD (так как O - середина CD), ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные).

Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Рассмотрим треугольник ODA: ∠ODA = 40°, ∠AOD = ∠BOC = 95°. Тогда ∠OAD = 180° - ∠ODA - ∠AOD = 180° - 40° - 95° = 45°.

Так как ΔAOD = ΔBOC, то ∠OBC = ∠ODA = 40°.

3.

Пусть x - длина боковой стороны треугольника.

Если 20 см - длина основания, то 2x + 20 = 80, следовательно, 2x = 60 и x = 30 см.

Если 20 см - длина боковой стороны, то 20 + 20 + y = 80, где y - длина основания. Тогда y = 80 - 40 = 40 см.

Но в равнобедренном треугольнике сумма двух боковых сторон должна быть больше основания. В нашем случае 20 + 20 = 40, что невозможно, т.к. в этом случае получится не треугольник, а прямая.

Следовательно, основание равно 20 см, а боковая сторона 30 см.