Вариант А1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C=55°, а) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ДАОС = ∆BOD. б) Найдите ZOAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника

Вариант А1

1.

а) В треугольнике ABC даны углы ∠A = 70° и ∠C = 55°. Найдем угол ∠B:

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 55° = 55°.

Так как ∠B = ∠C = 55°, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

б) ВМ - высота, следовательно, треугольник ABM - прямоугольный. Тогда ∠ABM = 90° - ∠A = 90° - 70° = 20°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота ВМ является и медианой. Значит, ∠CBM = ∠ABM = 20°.

Угол ABC делится высотой ВМ на два угла: ∠ABM = 20° и ∠CBM = 20°.

2.

а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

AO = OB (так как O - середина AB), CO = OD (так как O - середина CD), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные).

Следовательно, ΔAOC = ΔBOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Рассмотрим треугольник ODB: ∠ODB = 20°, ∠BOD = ∠AOC = 115°. Тогда ∠OBD = 180° - ∠ODB - ∠BOD = 180° - 20° - 115° = 45°.

Так как ΔAOC = ΔBOD, то ∠OAC = ∠OBD = 45°.

3.

Пусть x - длина боковой стороны треугольника.

Если 16 см - длина основания, то 2x + 16 = 64, следовательно, 2x = 48 и x = 24 см.

Если 16 см - длина боковой стороны, то 16 + 16 + y = 64, где y - длина основания. Тогда y = 64 - 32 = 32 см.

Но в равнобедренном треугольнике сумма двух боковых сторон должна быть больше основания. В нашем случае 16 + 16 < 32, что невозможно.

Следовательно, боковая сторона равна 24 см.