2 вариант 1. a) 12x²-3x=06) 6-54x²=0 B) 2x²-9X+4=0 2. Разложите на множители 3х²+8x-3 3. x4-8x²-9=0 4. Туристы проплыли на моторной лодке по течению реки 12 км и вернулись обратно, затратив на весь путь 2 часа 30 минут. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения 2 км /ч. 5. Найти синус, косинус и тангенс меньшего угла треугольника, если его и гипотенуза равны 40 И 41 СМ.

1. Решаем уравнения:

а) \(12x^2 - 3x = 6 - 54x^2\) \(12x^2 + 54x^2 - 3x - 6 = 0\) \(66x^2 - 3x - 6 = 0\) Сокращаем на 3: \(22x^2 - x - 2 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-2) = 1 + 176 = 177\) \(x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{177}}{2 \cdot 22} = \frac{1 + \sqrt{177}}{44}\) \(x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{177}}{2 \cdot 22} = \frac{1 - \sqrt{177}}{44}\) б) \(2x^2 - 9x + 4 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49\) \(x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

2. Разложение на множители квадратного трехчлена:

\(3x^2 + 8x - 3\) Найдем корни квадратного трехчлена: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\) \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\) Разложение на множители: \(a(x - x_1)(x - x_2)\) \(3(x - \frac{1}{3})(x + 3) = (3x - 1)(x + 3)\)

3. Решаем биквадратное уравнение:

\(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\) Замена: \(t = x^2\) \(t^2 - 8t - 9 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\) \(t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Обратная замена: \(x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\) \(x^2 = -1\) (нет решений)

4. Задача про туристов и лодку:

Пусть \(v\) - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению: \(v + 2\), против течения: \(v - 2\). Время по течению: \(\frac{12}{v + 2}\), против течения: \(\frac{12}{v - 2}\). Общее время: 2 часа 30 минут = 2.5 часа. Уравнение: \(\frac{12}{v + 2} + \frac{12}{v - 2} = 2.5\) Умножаем обе части на \((v + 2)(v - 2)\): \(12(v - 2) + 12(v + 2) = 2.5(v^2 - 4)\) \(12v - 24 + 12v + 24 = 2.5v^2 - 10\) \(24v = 2.5v^2 - 10\) \(2.5v^2 - 24v - 10 = 0\) Умножаем на 2: \(5v^2 - 48v - 20 = 0\) Вычисляем дискриминант: \(D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704\) \(v_1 = \frac{-(-48) + \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{48 + 52}{10} = \frac{100}{10} = 10\) \(v_2 = \frac{-(-48) - \sqrt{2704}}{2 \cdot 5} = \frac{48 - 52}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4\) (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной) Собственная скорость лодки: 10 км/ч.

5. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике:

Катеты: 40 см и неизвестный катет. Гипотенуза: 41 см. Найдем второй катет по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(b^2 = c^2 - a^2\) \(b^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81\) \(b = \sqrt{81} = 9\) Меньший угол лежит напротив меньшего катета. Синус меньшего угла: \(\frac{9}{41} \approx 0.2195\) Косинус меньшего угла: \(\frac{40}{41} \approx 0.9756\) Тангенс меньшего угла: \(\frac{9}{40} = 0.225\)