Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 2. A) x⁴ – 4x² + 3 = 0 Б) – 4x⁴ – 4x² + 24 = 0 B) – 2x⁴ – 4x² + 6 = 0
Ответ:
Привет! Разберем уравнения:
А) x⁴ – 4x² + 3 = 0
Краткое пояснение: Это биквадратное уравнение. Сделаем замену, чтобы упростить решение.
- Шаг 1: Замена переменной. Пусть \( t = x^2 \), тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 4t + 3 = 0 \)
- Шаг 2: Решаем квадратное уравнение \( t^2 - 4t + 3 = 0 \).
Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
Корни: \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \). - Шаг 3: Возвращаемся к исходной переменной.
- \( x^2 = 3 \), значит \( x = \pm \sqrt{3} \).
- \( x^2 = 1 \), значит \( x = \pm 1 \).
Ответ: Корни уравнения: \( x = \pm \sqrt{3}, \pm 1 \).
Б) – 4x⁴ – 4x² + 24 = 0
Краткое пояснение: Упростим уравнение, разделив обе части на -4.
- Шаг 1: Делим обе части уравнения на -4: \( x^4 + x^2 - 6 = 0 \).
- Шаг 2: Замена переменной. Пусть \( t = x^2 \), тогда уравнение примет вид: \( t^2 + t - 6 = 0 \).
- Шаг 3: Решаем квадратное уравнение \( t^2 + t - 6 = 0 \).
Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
Корни: \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \), \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \). - Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной.
- \( x^2 = 2 \), значит \( x = \pm \sqrt{2} \).
- \( x^2 = -3 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: Корни уравнения: \( x = \pm \sqrt{2} \).
B) – 2x⁴ – 4x² + 6 = 0
Краткое пояснение: Упростим уравнение, разделив обе части на -2.
- Шаг 1: Делим обе части уравнения на -2: \( x^4 + 2x^2 - 3 = 0 \).
- Шаг 2: Замена переменной. Пусть \( t = x^2 \), тогда уравнение примет вид: \( t^2 + 2t - 3 = 0 \).
- Шаг 3: Решаем квадратное уравнение \( t^2 + 2t - 3 = 0 \).
Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
Корни: \( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \), \( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \). - Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной.
- \( x^2 = 1 \), значит \( x = \pm 1 \).
- \( x^2 = -3 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: Корни уравнения: \( x = \pm 1 \).
