Вариант А1. 1. Даны векторы x, y, n, m. Начертите: а) x + y; n + m; б) x − y; n − m; в) x + y + n + 0; г) y − n. 2. Начертите два неколлинеарных вектора a и b, отложенных от различных точек. Постройте векторы: а) c = a + 2b; б) d = ½a − 3b. 3. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 17 см, средняя линия — 6 см. Найдите основания трапеции. 4. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большая боковая сторона равна 20 см, а средняя линия — 7 см. Найдите основания трапеции.

1. Для суммы векторов используем правило треугольника или параллелограмма: переносим векторы, не меняя их длину и направление. Разность строим как сумму с противоположным вектором: x − y = x + (−y), n − m = n + (−m), y − n = y + (−n). В выражении x + y + n + 0 нулевой вектор не изменяет результат, поэтому строим x + y + n.

2. Векторы a и b отложены от разных точек, поэтому сначала переносим их параллельно самим себе к общему началу. Для c откладываем последовательно a, b и b: c = a + b + b. Для d откладываем ½a, а затем вектор, противоположный 3b: d = ½a + (−3b). Конец построенной цепочки соединяем с её началом.

3. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой. Она равна 15 см, а другая боковая сторона равна 17 см. Разность оснований равна горизонтальной проекции наклонной стороны: √(17² − 15²) = √64 = 8 см. Сумма оснований равна удвоенной средней линии: 2 · 6 = 12 см. Поэтому основания равны (12 − 8) / 2 = 2 см и (12 + 8) / 2 = 10 см.

Ответ: 2 см и 10 см.

4. Сумма оснований равна удвоенной средней линии: 2 · 7 = 14 см. Острый угол между наклонной боковой стороной и основанием равен 60°, так как соседние углы при боковой стороне трапеции в сумме дают 180°. Разность оснований — проекция большей боковой стороны на основание: 20 · cos 60° = 10 см. Тогда основания равны (14 − 10) / 2 = 2 см и (14 + 10) / 2 = 12 см.

Ответ: 2 см и 12 см.