Вариант А1. 1. Найдите два ненулевых вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Постройте векторы \(-\frac12\vec a\) и \(3\vec a+\frac12\vec b\). 2. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). а) Выразите векторы AM и BN через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите, что векторы BD и MN коллинеарны.

1. Построение зависит от выбранных векторов \(\vec a\) и \(\vec b\), которые на изображении не заданы. Для произвольных ненулевых векторов: \(-\frac12\vec a\) направлен противоположно \(\vec a\) и вдвое короче; чтобы построить \(3\vec a+\frac12\vec b\), отложите последовательно векторы \(3\vec a\) и \(\frac12\vec b\), а затем проведите вектор из начала первого к концу второго. Для точного чертежа нужны выбранные \(\vec a\) и \(\vec b\).

2а. Положим начало в точке A. Тогда \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). Поскольку M — середина BC, \(\overrightarrow{AM}=\frac{B+C}{2}=\vec a+\frac12\vec b\).

N — середина CD, поэтому \(N=\frac{C+D}{2}=\frac12\vec a+\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{BN}=N-B=\vec b-\frac12\vec a\).

2б. \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\). Кроме того, \(\overrightarrow{MN}=N-M=(\frac12\vec a+\vec b)-(\vec a+\frac12\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a)=\frac12\overrightarrow{BD}\). Один вектор является скалярным множителем другого, значит, они коллинеарны.

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{BN}=\vec b-\frac12\vec a\); \(\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{BD}\), поэтому BD и MN коллинеарны.