Вариант А1. 1) Один из углов параллелограмма равен 55°. Найдите остальные углы. 2) Периметр параллелограмма равен 64 см, а одна из его сторон больше другой на 4 см. Найдите стороны параллелограмма. 3) Дано: ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4. Доказать: ABCD — параллелограмм.

1) В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°.

Один из углов равен 55°. Противоположный ему угол тоже равен 55°, а каждый соседний равен 180° − 55° = 125°.

Ответ: 55°, 125°, 55°, 125°.

2) Пусть стороны параллелограмма равны x и y см, причём x > y. Тогда x − y = 4, а из формулы периметра 2(x + y) = 64 получаем x + y = 32.

Складываем уравнения: 2x = 36, откуда x = 18. Тогда y = 32 − 18 = 14.

Ответ: стороны параллелограмма — 18 см и 14 см.

3) Диагональ AC образует треугольники ABC и CDA. По условию ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Сторона AC — общая для этих треугольников и лежит между равными углами. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD. Следовательно, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон равны. Значит, ABCD — параллелограмм.