Вариант А1. 1. Периметр параллелограмма равен 46 см. Найдите наименьшую сторону параллелограмма, если сумма трёх его сторон равна 42 см. 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 84°. Найдите углы параллелограмма. 3. Дано: BC ∥ AD; ∠BAC = ∠DCA. Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Пусть стороны параллелограмма равны a и b. Из периметра следует: a + b = 46 : 2 = 23 см.

Сумма трёх сторон — это либо 2a + b, либо a + 2b. Вместе с a + b = 23 равенство 42 даёт стороны 19 см и 4 см.

Ответ: наименьшая сторона — 4 см.

2. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°. Поэтому сумма 84° может относиться только к двум противоположным углам: каждый из них равен 84° : 2 = 42°. Соседние углы равны 180° − 42° = 138°.

Ответ: углы параллелограмма — 42°, 138°, 42° и 138°.

3. Так как BC ∥ AD, углы ∠BCA и ∠CAD равны как накрест лежащие при секущей AC. По условию ∠BAC = ∠DCA. Следовательно, прямые AB и CD образуют с AC равные накрест лежащие углы, поэтому AB ∥ CD. Вместе с BC ∥ AD это означает, что обе пары противоположных сторон четырёхугольника ABCD параллельны.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.