Вариант А1. 1) Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. Точки E и F — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что EF ∥ α. 2) В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что BD : DA = 1 : 3. Плоскость α, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке E. а) Докажите подобие треугольников BDE и ABC. б) Найдите AC, если DE = 4 см.

1) В трапеции основания параллельны: AB ∥ CD.

Поскольку E и F — середины боковых сторон, EF является средней линией трапеции. Поэтому EF ∥ AB и EF ∥ CD.

Прямые AB и CD лежат в плоскости α. Следовательно, EF параллельна прямой AB, лежащей в α, и сама не лежит в α (иначе точка E принадлежала бы α, хотя E лежит на AB, а боковая сторона AB пересекает α лишь по AD). Значит, EF ∥ α.

2а) Из BD : DA = 1 : 3 следует BD/BA = 1/(1+3) = 1/4. Так как DE ∥ AC, соответствующие углы треугольников BDE и BAC равны. Следовательно, по двум углам △BDE ∼ △BAC, то есть треугольники BDE и ABC подобны (с соответствием B↔B, D↔A, E↔C).

2б) Из подобия DE/AC = BD/BA = 1/4. Поэтому AC = 4·DE = 4·4 = 16 см.

Ответ: AC = 16 см.