Вариант А1: 1) В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ∆AOC = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3) В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Решение:

Вариант А1

1. 1.
• а) В треугольнике ABC: \( \angle A = 70^{\circ} \), \( \angle C = 55^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle B = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ} \). Так как \( \angle B = \angle C = 55^{\circ} \), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
• б) Отрезок BM — высота, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Поэтому BM делит \( \angle ABC \) пополам: \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{55^{\circ}}{2} = 27.5^{\circ} \).
2. 2.
• а) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Значит, AO = OB и CO = OD. Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — вертикальные, поэтому \( \angle AOC = \angle BOD \). По двум сторонам и углу между ними (AO = OB, CO = OD, \( \angle AOC = \angle BOD \)) треугольники ∆AOC и ∆BOD равны.
• б) В треугольнике \( \triangle BOD \) \( \angle ODB = 20^{\circ} \). Угол \( \angle BOD \) равен вертикальному углу \( \angle AOC = 115^{\circ} \). Тогда \( \angle OBD = 180^{\circ} - 115^{\circ} - 20^{\circ} = 45^{\circ} \). Так как AO = OB, то \( \triangle AOB \) — равнобедренный, и \( \angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ} \). В \( \triangle AOC \) \( \angle OAC \) — искомый угол. \( \angle OAC \) и \( \angle OAB \) — это один и тот же угол. Следовательно, \( \angle OAC = 45^{\circ} \).
3. 3.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна \( x \) см, а основание — \( y \) см.

Периметр треугольника равен \( 2x + y = 64 \) см.

Случай 1: Основание равно 16 см, то есть \( y = 16 \).

Тогда \( 2x + 16 = 64 \) \( \Rightarrow 2x = 64 - 16 \) \( \Rightarrow 2x = 48 \) \( \Rightarrow x = 24 \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 16 < 24 + 24 \) (верно), \( 24 < 16 + 24 \) (верно).

Случай 2: Боковая сторона равна 16 см, то есть \( x = 16 \).

Тогда \( 2 · 16 + y = 64 \) \( \Rightarrow 32 + y = 64 \) \( \Rightarrow y = 64 - 32 \) \( \Rightarrow y = 32 \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 32 < 16 + 16 \) (неверно, \( 32 = 32 \)). Такой треугольник не существует.

Ответ: боковая сторона треугольника равна 24 см.