Вариант А1. 1. В треугольнике ABC ∠C = 60°, AC = 4, BC = 3. Найти сторону AB. 2. В треугольнике ABC ∠C = 135°, AB = 3√2, BC = 3. Найти ∠A, ∠B. 3. В треугольнике ABC AC = 3√3, AB = 3, BC = 6. Найти ∠B. 4. В треугольнике ABC ∠C = 45°, AB = 3√2. Найти радиус описанной окружности R. 5. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, Sₐᵦ꜀ = 3√3. Найти AC.

По теореме косинусов:

\(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos C=16+9-24\cdot\frac12=13\).

Ответ: \(AB=\sqrt{13}\).

Обозначим стороны, лежащие напротив углов \(A,B,C\), соответственно \(a,b,c\). Тогда \(a=BC=3\), \(c=AB=3\sqrt2\). По теореме синусов:

\(\frac{\sin A}{3}=\frac{\sin135^\circ}{3\sqrt2}\), поэтому \(\sin A=\frac12\). Так как \(A+B=45^\circ\), получаем \(A=30^\circ\), \(B=15^\circ\).

Ответ: \(\angle A=30^\circ,\ \angle B=15^\circ\).

По теореме косинусов:

\(\cos B=\frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{36+9-27}{36}=\frac12\).

Ответ: \(\angle B=60^\circ\).

По теореме синусов \(AB=2R\sin C\). Следовательно, \(R=\frac{3\sqrt2}{2\sin45^\circ}=3\).

Ответ: \(R=3\).

Площадь через стороны \(AB,BC\) и угол между ними \(B\):

\(3\sqrt3=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot3\sin B\), откуда \(\sin B=\frac12\). Возможны два угла: \(B=30^\circ\) или \(B=150^\circ\).

По теореме косинусов для \(AC\):

Если \(B=30^\circ\), то \(AC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot4\sqrt3\cdot3\cos30^\circ=21\).

Если \(B=150^\circ\), то \(AC^2=(4\sqrt3)^2+3^2-2\cdot4\sqrt3\cdot3\cos150^\circ=93\).

Оба случая возможны, так как площадь задаёт синус угла и не различает угол и его дополнительный угол.

Ответ: \(AC=\sqrt{21}\) или \(AC=\sqrt{93}\).