Вариант А1. Даны точки A(1; −2), B(3; 6), C(5; −2). 1. Найдите координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CB}\). 2. Найдите координаты точки M, делящей пополам отрезок AB. 3. Найдите длину медианы CM. 4. Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом, если D(7; 6)?

1. Координаты вектора находятся вычитанием координат начала из координат конца:

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)=(3-1;\ 6-(-2))=(2;\ 8)\).

\(\overrightarrow{CB}=(x_B-x_C;\ y_B-y_C)=(3-5;\ 6-(-2))=(-2;\ 8)\).

2. Координаты середины отрезка:

\(M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)=M\left(\frac{1+3}{2};\frac{-2+6}{2}\right)=M(2;2)\).

3. Так как \(M(2;2)\), то

\(CM=\sqrt{(2-5)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).

4. Для параллелограмма ABCD диагонали AC и BD должны иметь одну и ту же середину.

Середина диагонали AC:

\(O_1\left(\frac{1+5}{2};\frac{-2+(-2)}{2}\right)=(3;-2)\).

Середина диагонали BD:

\(O_2\left(\frac{3+7}{2};\frac{6+6}{2}\right)=(5;6)\).

Точки \(O_1\) и \(O_2\) различны, поэтому диагонали не делятся пополам.

Ответ: 1) \(\overrightarrow{AB}=(2;8)\), \(\overrightarrow{CB}=(-2;8)\); 2) \(M(2;2)\); 3) \(CM=5\); 4) нет, ABCD не является параллелограммом.