Вариант А2: 1. Дано: AB = CD; ∠ABC = 65°; ∠ADC = 45°; ∠AOC = 110°. Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔDCO. 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC сумма углов A и C равна 156°. Найдите углы треугольника ABC. 3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Докажите, что AB || CD.

Вариант А2

1. Решение:

Доказательство равенства треугольников:

Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \).

1. Дано: \( AB = CD \).
2. Вертикальные углы: \( \angle AOB = \angle COD = 110° \).
3. Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \). \( \angle BAC + 65° + \angle BCA = 180° \). \( \angle BAC + \angle BCA = 115° \).
4. Сумма углов в \( \triangle ADC \): \( \angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180° \). \( \angle DAC + 45° + \angle ACD = 180° \). \( \angle DAC + \angle ACD = 135° \).
5. Для доказательства равенства \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \) по двум сторонам и углу между ними (СУС) нам нужны равенства \( AO = DO \) и \( BO = CO \).
6. Для доказательства равенства \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \) по стороне и двум прилежащим углам (УСУ) нам нужны равенства \( AO = DO \) и \( \angle BAO = \angle CDO \) или \( \angle ABO = \angle CDO \) и \( BO = CO \).
7. Без дополнительных равенств сторон или углов, мы не можем доказать равенство треугольников \( \triangle ABO = \triangle DCO \).

Нахождение угла C:

Предполагается, что ищется \( \angle C \) в \( \triangle ABC \) (т.е. \( \angle BCA \)) или \( \angle ACD \) или \( \angle BCD \). Данных недостаточно для однозначного ответа.

Например, если искать \( \angle BCA \), то \( \angle BAC + \angle BCA = 115° \), но \( \angle BAC \) неизвестен.

Если искать \( \angle ACD \), то \( \angle DAC + \angle ACD = 135° \), но \( \angle DAC \) неизвестен.

2. Решение:

В равнобедренном \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Дано, что сумма углов \( A \) и \( C \) равна \( 156° \), то есть \( \angle BAC + \angle BCA = 156° \).

Поскольку \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( 2 \cdot \angle BAC = 156° \).

\( \angle BAC = \frac{156°}{2} = 78° \).

Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA = 78° \).

Сумма углов треугольника равна \( 180° \).

\( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \)

\( \angle ABC + 156° = 180° \)

\( \angle ABC = 180° - 156° = 24° \).

Ответ: Углы треугольника ABC равны 78°, 24°, 78°.

3. Решение:

Доказательство:

Дано, что \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные треугольники с \( \angle B = \angle D = 90° \) и основанием \( AC \).

В \( \triangle ABC \) углы при основании \( AC \) равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \).

\( 90° + \angle BAC + \angle BAC = 180° \)

\( 2 \cdot \angle BAC = 90° \)

\( \angle BAC = 45° \).

Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA = 45° \).

Аналогично в \( \triangle ADC \): \( \angle DAC = \angle DCA = 45° \).

Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \). Это внутренние накрест лежащие углы при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).

Мы имеем \( \angle BAC = 45° \) и \( \angle ACD = 45° \).

Так как \( \angle BAC = \angle ACD \) (внутренние накрест лежащие углы равны), то прямые \( AB \) и \( CD \) параллельны.

Ответ: Доказано, что AB || CD.