Вариант А2. 1. Найдите два ненулевых вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Постройте векторы \(-\frac13\vec b\) и \(2\vec a+\frac12\vec b\). 2. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). а) Выразите векторы AN и DM через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите, что векторы DB и MN коллинеарны.

1. Построение зависит от выбранных векторов \(\vec a\) и \(\vec b\), которые на изображении не заданы. Для произвольных ненулевых векторов: \(-\frac13\vec b\) направлен противоположно \(\vec b\) и втрое короче; чтобы построить \(2\vec a+\frac12\vec b\), отложите последовательно векторы \(2\vec a\) и \(\frac12\vec b\), а затем проведите вектор из начала первого к концу второго. Для точного чертежа нужны выбранные \(\vec a\) и \(\vec b\).

2а. Положим начало в точке A. Тогда \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). Так как N — середина CD, \(\overrightarrow{AN}=\frac{C+D}{2}=\frac12\vec a+\vec b\).

M — середина BC, значит, \(M=\frac{B+C}{2}=\vec a+\frac12\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{DM}=M-D=\vec a-\frac12\vec b\).

2б. \(\overrightarrow{DB}=\vec a-\vec b\), а \(\overrightarrow{MN}=N-M=(\frac12\vec a+\vec b)-(\vec a+\frac12\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a)=-\frac12\overrightarrow{DB}\). Следовательно, DB и MN коллинеарны.

Ответ: \(\overrightarrow{AN}=\frac12\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{DM}=\vec a-\frac12\vec b\); \(\overrightarrow{MN}=-\frac12\overrightarrow{DB}\), поэтому DB и MN коллинеарны.