Вариант А2. 1) Плоскость α проходит через сторону AC треугольника ABC. Точки D и E — середины отрезков AB и BC соответственно. Докажите, что DE ∥ α. 2) Точка D лежит на отрезке AB, причём BD : BA = 1 : 4. Через точку M проведена плоскость α, параллельная прямой DD₁; плоскость α пересекает прямые AB, BC и AC соответственно в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите подобие треугольников A₁B₁C₁ и ABC, если AC = 12 см. 3) Параллельные прямые a и b лежат в плоскостях γ и β соответственно. Через прямую a проведена плоскость δ, параллельная плоскости β; плоскость δ пересекает плоскость γ. Докажите, что c ∥ γ. [В условии второго задания часть обозначений повреждена или обрезана.]

1) В треугольнике ABC точки D и E — середины AB и BC. По теореме о средней линии треугольника DE ∥ AC. Прямая AC лежит в плоскости α, а DE не лежит в α: плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой AC, а DE параллельна AC и отлична от неё. Следовательно, DE ∥ α.

2) Существенные обозначения и связи в условии неразборчивы: в частности, неясно, что обозначает M и как связаны точки D и D₁, а также какие именно прямые пересекает плоскость α. Поэтому доказать подобие именно указанных треугольников по имеющимся данным нельзя. Пришлите, пожалуйста, чёткий фрагмент условия второго задания целиком.

3) Если c — линия пересечения плоскостей δ и γ, то из δ ∥ β и b ∥ a, где a лежит в δ, следует, что прямая b параллельна плоскости δ. Поэтому b не пересекает δ, а значит, не пересекает и линию c. Поскольку c лежит в γ, отсюда следует c ∥ b. Однако из данных условия не следует c ∥ γ: линия c является частью плоскости γ, а не параллельна ей. Кроме того, формулировка говорит, что δ пересекает γ, но не задаёт обозначение линии пересечения и не позволяет сделать заявленный вывод. Вероятно, в условии или требовании есть ошибка; для корректного доказательства нужен чёткий снимок этой строки.