Вариант А2. 1. Сократите дроби: а) \(\frac{3x^4y}{9x^3y^2}\); б) \(\frac{2x^2-6x}{2x}\); в) \(\frac{a+1}{a^2+2a+1}\). 2. Преобразуйте в дробь выражения: а) \(\frac{a+4}{4a}-\frac{a-2}{a^2}\); б) \(\frac{3x}{x+3}+\frac{3x}{x-3}\); в) \(\frac{9x^2}{3xy-y^2}-\frac{y}{3x-y}\); г) \(a-3b+\frac{6ab}{a-3b}\). 3. Упростите выражение: \(\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x^2-2x}-\frac{4}{4-x^2}\). 4. Найдите допустимые значения переменной в выражении: \(\frac{x+3}{x^2+x}\).

1. Сократите дроби.

1. а) \(\frac{3x^4y}{9x^3y^2}=\frac{x}{3y}\), при \(x\ne0\), \(y\ne0\).
2. б) \(\frac{2x^2-6x}{2x}=\frac{2x(x-3)}{2x}=x-3\), при \(x\ne0\).
3. в) \(\frac{a+1}{a^2+2a+1}=\frac{a+1}{(a+1)^2}=\frac1{a+1}\), при \(a\ne-1\).

2. Преобразуйте в одну дробь.

1. а) Общий знаменатель — \(4a^2\):
   \[\frac{a+4}{4a}-\frac{a-2}{a^2}=\frac{a(a+4)-4(a-2)}{4a^2}=\frac{a^2+8}{4a^2},\quad a\ne0.\]
2. б) Общий знаменатель — \((x+3)(x-3)\):
   \[\frac{3x}{x+3}+\frac{3x}{x-3}=\frac{3x(x-3)+3x(x+3)}{x^2-9}=\frac{6x^2}{x^2-9},\quad x\ne\pm3.\]
3. в) Поскольку \(3xy-y^2=y(3x-y)\),
   \[\frac{9x^2}{3xy-y^2}-\frac{y}{3x-y}=\frac{9x^2-y^2}{y(3x-y)}=\frac{(3x-y)(3x+y)}{y(3x-y)}=\frac{3x+y}{y},\quad y\ne0,\ 3x-y\ne0.\]
4. г) Общий знаменатель — \(a-3b\):
   \[a-3b+\frac{6ab}{a-3b}=\frac{(a-3b)^2+6ab}{a-3b}=\frac{a^2+9b^2}{a-3b},\quad a-3b\ne0.\]

3. Упростите выражение. Разложим знаменатели: \(x^2-2x=x(x-2)\), \(4-x^2=(2-x)(2+x)\). Поэтому \(x\ne-2,0,2\).

\[\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x(x-2)}-\frac{4}{(2-x)(2+x)}=\frac{x(x-2)+2(x+2)+4x}{x(x-2)(x+2)}.\]

Числитель равен \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Сокращаем общий множитель, сохраняя исходные ограничения:

\[\frac{(x+2)^2}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x(x-2)},\quad x\ne-2,0,2.\]

4. Допустимые значения. Знаменатель должен быть ненулевым: \(x^2+x=x(x+1)\ne0\). Значит, \(x\ne0\) и \(x\ne-1\).

Ответ: \(x\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}\).