Вариант А2: 1) В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок CK — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной AB. 2) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ∆AOD = ∆BOC. б) Найдите ∠OBC, если ∠ODA = 40°, ∠BOC = 95°. 3) В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.

Решение:

Вариант А2

1. 1.
• а) В треугольнике ABC: \( \angle A = 100^{\circ} \), \( \angle C = 40^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). \( \angle B = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ} \). Так как \( \angle B = \angle C = 40^{\circ} \), то треугольник ABC — равнобедренный. Боковые стороны — это стороны, противолежащие равным углам. Следовательно, боковые стороны — это AC и AB.
• б) Отрезок CK — биссектриса \( \angle C \). \( \angle ACK = \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ} \). Угол \( \angle C = 40^{\circ} \), \( \angle B = 40^{\circ} \). Рассматриваем \( \triangle KCB \): \( \angle CKB = 180^{\circ} - \angle B - \angle KCB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 20^{\circ} = 120^{\circ} \). Угол \( \angle AKC \) — смежный с \( \angle CKB \), поэтому \( \angle AKC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Рассматриваем \( \triangle AKC \): \( \angle KAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle AKC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} \). В условии просят найти углы, которые биссектриса образует со стороной AB. Эти углы — \( \angle ACK \) и \( \angle KCB \). Однако, они образуются со стороной AC и BC, а не AB. Вероятно, имеется в виду углы \( \angle AKC \) и \( \angle BKC \). \( \angle AKC = 60^{\circ} \) и \( \angle BKC = 120^{\circ} \).
2. 2.
• а) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, и O — середина каждого из них. Следовательно, AO = OB и DO = OC. Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, значит \( \angle AOD = \angle BOC \). По двум сторонам и углу между ними (AO = OB, DO = OC, \( \angle AOD = \angle BOC \)), треугольники ∆AOD и ∆BOC равны.
• б) В \( \triangle OBC \) \( \angle OBC \) — искомый. \( \angle BOC = 95^{\circ} \). Угол \( \angle AOD = 40^{\circ} \). \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) — вертикальные, значит \( \angle BOC = \angle AOD = 40^{\circ} \). Это противоречит условию, что \( \angle BOC = 95^{\circ} \). Предположим, что \( \angle AOD = 95^{\circ} \) и \( \angle BOC = 40^{\circ} \) (вертикальные). Тогда \( \angle OBC = 180^{\circ} - 95^{\circ} - 40^{\circ} = 45^{\circ} \).

Если же \( \angle ODA = 40^{\circ} \) и \( \angle BOC = 95^{\circ} \), то \( \angle AOD = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ} \) (смежные углы). Тогда \( \angle OBC = 180^{\circ} - 85^{\circ} - 40^{\circ} = 55^{\circ} \) (из \( \triangle OBD \), где \( \angle ODB = 40^{\circ} \), \( \angle BOD = 85^{\circ} \)).

3. 3.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна \( x \) см, а основание — \( y \) см.

Периметр треугольника равен \( 2x + y = 80 \) см.

Случай 1: Основание равно 20 см, то есть \( y = 20 \).

Тогда \( 2x + 20 = 80 \) \( \Rightarrow 2x = 80 - 20 \) \( \Rightarrow 2x = 60 \) \( \Rightarrow x = 30 \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 20 < 30 + 30 \) (верно), \( 30 < 20 + 30 \) (верно).

Случай 2: Боковая сторона равна 20 см, то есть \( x = 20 \).

Тогда \( 2 · 20 + y = 80 \) \( \Rightarrow 40 + y = 80 \) \( \Rightarrow y = 80 - 40 \) \( \Rightarrow y = 40 \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 40 < 20 + 20 \) (неверно, \( 40 = 40 \)). Такой треугольник не существует.

Ответ: длина основания треугольника равна 30 см.